Determine
, e usando
, encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
O que pedem:
- Determinar
(onde com sendo o coeficiente de na equação). - Usar
como fator integrante e, com isso, encontrar a única solução que satisfaz a condição inicial.
Passo 2
Identifico a equação como uma equação linear de primeira ordem no formato
onde, comparando, temos
A ideia do método do fator integrante: escolher uma função
tal que
. Então o fator integrante é
Explicar por que funciona (intuição): ao multiplicar a equação por
obtém-se a derivada de
, o que facilita integrar.
Passo 3
Calculo
integrando
:
Faço a integral passo a passo. Use a substituição mental:
. Assim
Podemos escolher a constante de integração
ao definir um fator integrante particular, então tomo
Passo 4
Escrevo o fator integrante pedido:
Agora multiplico a equação original por
. Vou verificar que isso transforma o lado esquerdo numa derivada exata:
Como
, o segundo termo é
. Portanto
Pela equação original o parêntese é zero, então
Passo 5
Integrando a igualdade
obtemos
onde
é constante. Isolando
,
Isto é a forma geral da solução da equação homogênea.
Passo 6
Uso a condição inicial para determinar
. Em
temos
Substituindo em
e impondo
:
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Breve observação sobre unicidade: os coeficientes da equação (aqui
) são contínuos no intervalo dado
, portanto existe e é única a solução que satisfaz a condição inicial nesse intervalo — a que encontramos.