Determine P(t), e usando \exp [P(t)], encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
\quad u^{\prime}+2 \cos 2 t u=0, u\left(\frac{\pi}{4}\right)=1, \frac{\pi}{8}<t<\frac{3 \pi}{8}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
u^{\prime}+2 \cos 2 t\, u=0,\qquad u\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1, \qquad \frac{\pi}{8}<t<\frac{3\pi}{8}.
O que pedem:
  • Determinar P(t) (onde P'(t)=p(t) com p(t) sendo o coeficiente de u na equação).
  • Usar \exp[P(t)] como fator integrante e, com isso, encontrar a única solução que satisfaz a condição inicial.

Passo 2

Identifico a equação como uma equação linear de primeira ordem no formato
u^{\prime}+p(t)\,u=0,
onde, comparando, temos
p(t)=2\cos 2t.
A ideia do método do fator integrante: escolher uma função P(t) tal que P'(t)=p(t). Então o fator integrante é
\exp[P(t)]=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Explicar por que funciona (intuição): ao multiplicar a equação por \exp[P(t)] obtém-se a derivada de \,u\exp[P(t)], o que facilita integrar.

Passo 3

Calculo P(t) integrando p(t):
P(t)=\int 2\cos 2t\,dt.
Faço a integral passo a passo. Use a substituição mental: \int \cos 2t\,dt=\tfrac{1}{2}\sin 2t. Assim
\int 2\cos 2t\,dt = 2\cdot\frac{1}{2}\sin 2t=\sin 2t + C.
Podemos escolher a constante de integração C=0 ao definir um fator integrante particular, então tomo
P(t)=\sin 2t.

Passo 4

Escrevo o fator integrante pedido:
\exp[P(t)]=\exp\!\big(\sin 2t\big)=e^{\sin 2t}.
Agora multiplico a equação original por e^{\sin 2t}. Vou verificar que isso transforma o lado esquerdo numa derivada exata:
\frac{d}{dt}\big(u(t)\,e^{\sin 2t}\big) = u'(t)\,e^{\sin 2t} + u(t)\,e^{\sin 2t}\cdot\frac{d}{dt}\big(\sin 2t\big).
Como \dfrac{d}{dt}\sin 2t = 2\cos 2t, o segundo termo é u(t)\,e^{\sin 2t}\cdot 2\cos 2t. Portanto
\frac{d}{dt}\big(u\,e^{\sin 2t}\big)=\big(u'+2\cos 2t\,u\big)e^{\sin 2t}.
Pela equação original o parêntese é zero, então
\frac{d}{dt}\big(u\,e^{\sin 2t}\big)=0.

Passo 5

Integrando a igualdade \dfrac{d}{dt}\big(u\,e^{\sin 2t}\big)=0 obtemos
u(t)\,e^{\sin 2t}=C,
onde C é constante. Isolando u(t),
u(t)=C\,e^{-\sin 2t}.
Isto é a forma geral da solução da equação homogênea.

Passo 6

Uso a condição inicial para determinar C. Em t=\dfrac{\pi}{4} temos
\sin\big(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\big)=\sin\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1.
Substituindo em u(t)=C\,e^{-\sin 2t} e impondo u(\tfrac{\pi}{4})=1:
1 = C\,e^{-1}\quad\Rightarrow\quad C=e.
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
u(t)=e\,e^{-\sin 2t}=e^{\,1-\sin 2t}.

Passo 7

Breve observação sobre unicidade: os coeficientes da equação (aqui 2\cos 2t) são contínuos no intervalo dado \big(\tfrac{\pi}{8},\tfrac{3\pi}{8}\big), portanto existe e é única a solução que satisfaz a condição inicial nesse intervalo — a que encontramos.

Resposta

P(t)=\sin 2t\n
\exp[P(t)]=e^{\sin 2t}\n
u(t)=e^{\,1-\sin 2t},\quad \frac{\pi}{8}<t<\frac{3\pi}{8}

Exercícios relacionados