Determine P(t), e usando \exp [P(t)], encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
t u^{\prime}+u=t \operatorname{sen}(t), \quad u(1)=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
t\,u'(t)+u(t)=t\sin t,\qquad u(1)=2.
O que é pedido:
  • Determinar P(t) (o primitivo do coeficiente de u na forma padrão).
  • Usar \exp[P(t)] (o fator integrante) para encontrar a única solução do PVI.
Informações relevantes vindas do enunciado:
  • A equação vale para t\neq 0 (porque aparece divisão por t ao colocá-la na forma padrão).
  • A condição inicial está em t=1, portanto podemos trabalhar no intervalo onde t>0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem u'+p(t)u=q(t). Dividindo por t (já que t\neq 0):
u'(t)+\frac{1}{t}\,u(t)=\sin t.
Aqui p(t)=\dfrac{1}{t} e q(t)=\sin t.
Explicação didática do fator integrante:
  • Para resolver u'+p(t)u=q(t) usamos um fator integrante \mu(t)=\exp\!\big(P(t)\big), onde
P(t)=\int p(t)\,dt.
  • A razão: \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)u(t)\big)=\mu(t)\big(u'(t)+p(t)u(t)\big). Assim, multiplicando a EDO por \mu(t) convertemos o lado esquerdo numa derivada direta, o que facilita a integração.
Calculemos P(t):
P(t)=\int \frac{1}{t}\,dt=\ln|t|+C.
Escolhemos a constante de integração C=0 (qualquer constante apenas multiplica o fator integrante por uma constante, que se incorpora na constante da integração final). Como estamos em torno de t=1>0, podemos tomar
P(t)=\ln t.
Logo o fator integrante é
\exp\big(P(t)\big)=\exp(\ln t)=t.

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=t:
t\big(u'(t)+\tfrac{1}{t}u(t)\big)=t\sin t.
O lado esquerdo é a derivada:
\frac{d}{dt}\big(t\,u(t)\big)=t\sin t.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a t:
t\,u(t)=\int t\sin t\,dt + C,
onde C é a constante de integração.
Calcule a integral \int t\sin t\,dt por partes. Seja a=t e db=\sin t\,dt. Então da=dt e b=-\cos t. Assim
\int t\sin t\,dt = -t\cos t + \int \cos t\,dt = -t\cos t + \sin t + C_1.
Portanto
t\,u(t) = -t\cos t + \sin t + C.
Dividindo por t (novamente t\neq 0):
u(t) = -\cos t + \frac{\sin t}{t} + \frac{C}{t}.

Passo 5

Aplicar a condição inicial u(1)=2 para determinar C. Substituindo t=1:
2 = -\cos 1 + \sin 1 + C,
então
C = 2 + \cos 1 - \sin 1.

Passo 6

Substituindo C na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz o PVI:
u(t) = -\cos t + \frac{\sin t}{t} + \frac{2 + \cos 1 - \sin 1}{t}, \qquad t>0.
Observação sobre unicidade: por ser uma EDO linear com p(t)=1/t e q(t)=\sin t contínuas em qualquer intervalo onde t>0, pelo teorema de existência e unicidade a solução com a condição u(1)=2 é única nesse intervalo.

Resposta

u(t) = -\cos t + \frac{\sin t}{t} + \frac{2 + \cos 1 - \sin 1}{t}

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