Determine
, e usando
, encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
O que é pedido:
- Determinar
(o primitivo do coeficiente de na forma padrão). - Usar
(o fator integrante) para encontrar a única solução do PVI.
Informações relevantes vindas do enunciado:
- A equação vale para
(porque aparece divisão por ao colocá-la na forma padrão). - A condição inicial está em
, portanto podemos trabalhar no intervalo onde .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
. Dividindo por
(já que
):
Aqui
e
.
Explicação didática do fator integrante:
- Para resolver
usamos um fator integrante , onde
- A razão:
. Assim, multiplicando a EDO por convertemos o lado esquerdo numa derivada direta, o que facilita a integração.
Calculemos
:
Escolhemos a constante de integração
(qualquer constante apenas multiplica o fator integrante por uma constante, que se incorpora na constante da integração final). Como estamos em torno de
, podemos tomar
Logo o fator integrante é
Passo 3
Multiplicando a equação padrão por
:
O lado esquerdo é a derivada:
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Calcule a integral
por partes. Seja
e
. Então
e
. Assim
Portanto
Dividindo por
(novamente
):
Passo 5
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
então
Passo 6
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz o PVI:
Observação sobre unicidade: por ser uma EDO linear com
e
contínuas em qualquer intervalo onde
, pelo teorema de existência e unicidade a solução com a condição
é única nesse intervalo.