[6.] Escreva a equação geral de primeira ordem, não homogênea na forma
d u+[p(t) u-f(t)] d t=0
Mostre que existe um fator de integração Q(t) para esta EDO que é uma função que depende somente de t. Encontre Q(t), a função resultante \varphi(t, u), e logo a solução desta equação linear.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem não homogênea na forma
d u+[p(t) u-f(t)] d t=0.
As perguntas que devemos responder são:
  • Mostrar que existe um fator de integração Q(t) que depende somente de t.
  • Encontrar esse Q(t).
  • Encontrar a função resultante \varphi(t,u) (uma primitiva/primeira integral) obtida com esse fator de integração.
  • Determinar a solução geral da equação linear.
Informações relevantes fornecidas:
  • u é a função desconhecida de t.
  • p(t) e f(t) são funções conhecidas de t.
  • O fator de integração procurado deve depender apenas de t.

Passo 2

Primeiro reescrevo a equação em forma mais familiar dividindo por d t (assumindo t a variável independente):
\frac{d u}{d t}+p(t)\,u=f(t).
Explicando com calma: esta é a forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, onde \dfrac{d u}{d t} é a derivada de u em relação a t, p(t) é o coeficiente que multiplica u, e f(t) é o termo fonte (não homogêneo).

Passo 3

Ideia do fator de integração: queremos uma função Q(t) tal que, ao multiplicar a equação por Q(t), o lado esquerdo se torne a derivada total de Q(t)u(t). Ou seja, queremos
Q(t)\frac{d u}{d t}+Q(t)p(t)u=Q(t)f(t)
e desejamos que
\frac{d}{d t}\bigl(Q(t)u(t)\bigr)=Q(t)\frac{d u}{d t}+Q'(t)u(t).
Comparando os dois lados, para que a igualdade ocorra devemos ter
Q'(t)u(t)=Q(t)p(t)u(t)\quad\text{para todo }u(t),
ou seja devemos ter a condição (que não depende de u)
Q'(t)=p(t)\,Q(t).
Explicação: pedimos que o termo que acompanha u na derivada de Q u coincida com Qp\,u; isso garante que o operador sobre u seja exatamente a derivada de Q u.

Passo 4

Agora resolvemos a equação diferencial simples para Q:
Q'(t)=p(t)\,Q(t).
Isto é uma equação separável. Faço separação de variáveis:
\frac{Q'(t)}{Q(t)}=p(t).
Integro ambos os lados em t:
\int \frac{Q'(t)}{Q(t)}\,dt=\int p(t)\,dt.
O lado esquerdo é \ln|Q(t)|, então
\ln|Q(t)|=\int p(t)\,dt + C_0.
Exponenciando,
|Q(t)|=e^{C_0}\,e^{\int p(t)\,dt}.
Como um fator multiplicativo constante em Q não altera a propriedade de fator de integração (apenas multiplica a equação toda por constante), escolhemos a constante e^{C_0}=1 para simplificar. Assim podemos tomar
Q(t)=\exp\!\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr).
Observação pedagógica: não importa a constante multiplicativa; o importante é a forma exponencial. Esta é a forma padrão do fator de integração para EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 5

Multiplico agora a equação original por Q(t). Partindo de
\frac{d u}{d t}+p(t)u=f(t),
multiplicando por Q(t)
Q(t)\frac{d u}{d t}+Q(t)p(t)u=Q(t)f(t).
Pelo passo anterior, Q'(t)=p(t)Q(t), logo o lado esquerdo é exatamente a derivada total:
\frac{d}{d t}\bigl(Q(t)u(t)\bigr)=Q(t)f(t).
Isto é ótimo: a equação ficou na forma de uma derivada igual a uma função de t.

Passo 6

Integro ambos os lados em t. Temos
\int \frac{d}{d t}\bigl(Q(t)u(t)\bigr)\,dt=\int Q(t)f(t)\,dt.
A integral do lado esquerdo é simplesmente Q(t)u(t). Portanto
Q(t)u(t)=\int Q(t)f(t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Aqui a notação \int Q(t)f(t)\,dt representa qualquer primitiva (que pode ser uma integral indefinida).

Passo 7

Isolando u(t) obtemos a solução geral:
u(t)=\frac{1}{Q(t)}\left(\int Q(t)f(t)\,dt + C\right).
Comentário sobre interpretação: esta é a fórmula padrão da solução da EDO linear de primeira ordem. Relembrando Q(t)=\exp\!\bigl(\int p(t)\,dt\bigr), podemos escrever explicitamente
u(t)=\exp\!\Bigl(-\int p(t)\,dt\Bigr)\left(\int \exp\!\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) f(t)\,dt + C\right).

Passo 8

A função resultante \varphi(t,u) (uma primeira integral) pode ser escolhida como
\varphi(t,u)=Q(t)\,u(t)-\int Q(t)f(t)\,dt.
Então a condição \varphi(t,u)=C representa a solução implícita da EDO. Explicando: ao multiplicar e integrar, obtivemos Q u-\int Q f = C, que é exatamente \varphi(t,u)=C.

Passo 9

Exemplo rápido para firmar a técnica (passo a passo):
Considere \dfrac{d u}{d t}+2u=e^{3t}.
  • Aqui p(t)=2 e f(t)=e^{3t}.
  • O fator de integração é Q(t)=\exp\!\bigl(\int 2\,dt\bigr)=e^{2t}.
  • Multiplicando e integrando: \dfrac{d}{dt}(e^{2t}u)=e^{2t}e^{3t}=e^{5t}.
  • Integro: e^{2t}u=\int e^{5t}\,dt=\tfrac{1}{5}e^{5t}+C.
  • Logo u(t)=e^{-2t}\bigl(\tfrac{1}{5}e^{5t}+C\bigr)=\tfrac{1}{5}e^{3t}+C e^{-2t}.
    Isto confirma na prática a fórmula geral que derivamos.

Resposta

Q(t)=\exp\!\Bigl(\displaystyle\int p(t)\,dt\Bigr)\n
\varphi(t,u)=Q(t)\,u-\displaystyle\int Q(t)f(t)\,dt\n
u(t)=\dfrac{1}{Q(t)}\Bigl(\displaystyle\int Q(t)f(t)\,dt + C\Bigr)

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