[6.] Escreva a equação geral de primeira ordem, não homogênea na forma
Mostre que existe um fator de integração
para esta EDO que é uma função que depende somente de
. Encontre
, a função resultante
, e logo a solução desta equação linear.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem não homogênea na forma
As perguntas que devemos responder são:
- Mostrar que existe um fator de integração
que depende somente de . - Encontrar esse
. - Encontrar a função resultante
(uma primitiva/primeira integral) obtida com esse fator de integração. - Determinar a solução geral da equação linear.
Informações relevantes fornecidas:
-
é a função desconhecida de . -
e são funções conhecidas de . - O fator de integração procurado deve depender apenas de
.
Passo 2
Primeiro reescrevo a equação em forma mais familiar dividindo por
(assumindo
a variável independente):
Explicando com calma: esta é a forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, onde
é a derivada de
em relação a
,
é o coeficiente que multiplica
, e
é o termo fonte (não homogêneo).
Passo 3
Ideia do fator de integração: queremos uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada total de
. Ou seja, queremos
e desejamos que
Comparando os dois lados, para que a igualdade ocorra devemos ter
ou seja devemos ter a condição (que não depende de
)
Explicação: pedimos que o termo que acompanha
na derivada de
coincida com
; isso garante que o operador sobre
seja exatamente a derivada de
.
Passo 4
Agora resolvemos a equação diferencial simples para
:
Isto é uma equação separável. Faço separação de variáveis:
Integro ambos os lados em
:
O lado esquerdo é
, então
Exponenciando,
Como um fator multiplicativo constante em
não altera a propriedade de fator de integração (apenas multiplica a equação toda por constante), escolhemos a constante
para simplificar. Assim podemos tomar
Observação pedagógica: não importa a constante multiplicativa; o importante é a forma exponencial. Esta é a forma padrão do fator de integração para EDOs lineares de primeira ordem.
Passo 5
Multiplico agora a equação original por
. Partindo de
multiplicando por
dá
Pelo passo anterior,
, logo o lado esquerdo é exatamente a derivada total:
Isto é ótimo: a equação ficou na forma de uma derivada igual a uma função de
.
Passo 6
Integro ambos os lados em
. Temos
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Portanto
onde
é a constante de integração. Aqui a notação
representa qualquer primitiva (que pode ser uma integral indefinida).
Passo 7
Isolando
obtemos a solução geral:
Comentário sobre interpretação: esta é a fórmula padrão da solução da EDO linear de primeira ordem. Relembrando
, podemos escrever explicitamente
Passo 8
A função resultante
(uma primeira integral) pode ser escolhida como
Então a condição
representa a solução implícita da EDO. Explicando: ao multiplicar e integrar, obtivemos
, que é exatamente
.
Passo 9
Exemplo rápido para firmar a técnica (passo a passo):
Considere .
Considere
- Aqui
e . - O fator de integração é
. - Multiplicando e integrando:
. - Integro:
. - Logo
.
Isto confirma na prática a fórmula geral que derivamos.