Resolva cada um dos seguintes PVIs, mostrando que as equações são exatas e encontrado a função real varphi;
u^{\prime}-u=t, \quad u(0)=1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: resolver o problema de valor inicial (PVI)
u'(t)-u(t)=t,\qquad u(0)=1.
  • O que é pedido:
    • Mostrar que a equação pode ser transformada em uma equação exata (ou encontrar um fator integrante que torne a forma exata).
    • Encontrar uma função real \varphi(t,u) tal que a solução é dada por \varphi(t,u)= constante.
    • Usar a condição inicial para identificar a solução particular.
Informações claras: t é a variável independente (tempo) e u(t) é a função dependente que queremos achar. A derivada em relação a t é u'(t)=\dfrac{du}{dt}.

Passo 2

Transformar a equação em uma forma diferencial do tipo M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0, para testar exatidão.
Começo escrevendo a equação como
\frac{du}{dt}-u-t=0.
Multiplicando por dt,
du-(u+t)\,dt=0.
Logo posso identificar
M(t,u)=-(u+t),\qquad N(t,u)=1,
de modo que a forma diferencial é
M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0.

Passo 3

Testar exatidão da forma M\,dt+N\,du=0.
A condição de exatidão é \dfrac{\partial M}{\partial u}=\dfrac{\partial N}{\partial t}.
Calculo:
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\bigl(-(u+t)\bigr)=-1, \qquad \frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(1)=0.
Como -1\neq0, a forma não é exata. Então precisamos de um fator integrante. Para equações lineares de primeira ordem é natural procurar um fator integrante que dependa só de t.

Passo 4

Achar o fator integrante dependente de t.
A equação original pode ser escrita no formato linear padrão
u'+p(t)u=q(t).
Aqui p(t)=-1 e q(t)=t. O fator integrante padrão é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int -1\,dt\right)=e^{-t}.
Multiplico a equação original por \mu(t)=e^{-t}. Isso transforma a equação em
e^{-t}u' - e^{-t}u = t e^{-t}.
Reconhece-se o lado esquerdo como derivada de um produto:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}u\bigr)=t e^{-t}.
Explicação curta: em geral \dfrac{d}{dt}(\mu u)=\mu u'+\mu' u e aqui \mu'= -e^{-t}, então \mu u'+\mu' u = e^{-t}u' - e^{-t}u, que coincide com a expressão acima.

Passo 5

Multiplicar a forma diferencial original pelo fator integrante e mostrar exatidão; construir \varphi.
A forma multiplicada por \mu é
-(u+t)e^{-t}\,dt + e^{-t}\,du = 0.
Agora defino
\widetilde{M}(t,u)=-(u+t)e^{-t},\qquad \widetilde{N}(t,u)=e^{-t}.
Verifico exatidão:
\frac{\partial\widetilde{M}}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\bigl(-(u+t)e^{-t}\bigr)=-e^{-t}, \qquad \frac{\partial\widetilde{N}}{\partial t}=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\bigr)=-e^{-t}.
Como são iguais, a forma é exata. Assim existe \varphi(t,u) com
\frac{\partial\varphi}{\partial t}=\widetilde{M}(t,u),\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial u}=\widetilde{N}(t,u).
Para encontrar \varphi integro \dfrac{\partial\varphi}{\partial u}=\widetilde{N}=e^{-t} em relação a u:
\varphi(t,u)=\int e^{-t}\,du = u e^{-t} + h(t),
onde h(t) é uma função a determinar. Agora imponho que \dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=\widetilde{M}. Calculo
\frac{\partial\varphi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(u e^{-t} + h(t)\bigr) = -u e^{-t} + h'(t).
Igualando a \widetilde{M}(t,u)=-(u+t)e^{-t}
-u e^{-t} + h'(t) = -u e^{-t} - t e^{-t}.
Cancelando -u e^{-t} dos dois lados obtemos
h'(t) = - t e^{-t}.

Passo 6

Integrar h'(t) e escrever \varphi.
Calculo h(t)=\int -t e^{-t}\,dt. Faço a integral por partes (ou uso integral conhecida).
Usando integração por partes, seja a=t e db=e^{-t}dt. Então da=dt e b=-e^{-t}. Assim
\int t e^{-t}\,dt = -t e^{-t} - \int (-e^{-t})\,dt = -t e^{-t} - e^{-t} + C = -(t+1)e^{-t}+C.
Portanto
h(t)= -\int t e^{-t}\,dt = -( -(t+1)e^{-t}) + C = (t+1)e^{-t} + C.
Logo
\varphi(t,u) = u e^{-t} + (t+1)e^{-t} + C = e^{-t}\bigl(u+t+1\bigr) + C.
A condição da equação exata é \varphi(t,u)=\text{constante}. Podemos eliminar a constante C agrupando-a na constante geral da solução: escrevo
\varphi(t,u)=e^{-t}\bigl(u+t+1\bigr).
A solução geral implícita é
e^{-t}\bigl(u+t+1\bigr)=K,
onde K é constante arbitrária.

Passo 7

Usar a condição inicial para encontrar a constante e obter a solução particular.
A condição inicial é u(0)=1. Avalio \varphi em t=0,\;u=1:
\varphi(0,1)=e^{0}\bigl(1+0+1\bigr)=2.
Portanto K=2. A relação implícita fica
e^{-t}\bigl(u+t+1\bigr)=2.

Resposta

u(t)=2e^{t}-t-1

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