Encontre todas as soluções das seguintes EDO’s;
u^{\prime}=\cot u \operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado dá a EDO
u'(t)=\cot u(t)\,\operatorname{sen} t
e pede todas as soluções u(t). Aqui u:\mathbb{R}\supset I\to\mathbb{R} é a função incógnita e u'(t)=\dfrac{du}{dt}. Vou listar o que sabemos/precisamos:
  • A equação relaciona a derivada de u com funções de u e de t.
  • Precisamos encontrar todas as funções u(t) que satisfazem essa igualdade (soluções gerais).
  • Atenção: a função \cot u=\dfrac{\cos u}{\sin u} não está definida quando \sin u=0. Portanto pontos onde \sin u=0 exigem cuidado (podem ser singularidades da EDO).

Passo 2

Vamos procurar soluções constantes primeiro (isso é sempre um caso simples e útil).
Se u(t)\equiv u_0 constante, então u'(t)=0. A EDO vira
0=\cot u_0\;\operatorname{sen} t\quad\text{para todo }t.
Como \operatorname{sen} t não é identicamente zero, para a igualdade valer para todo t precisamos de \cot u_0=0, ou seja \cos u_0=0. Assim
u_0=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Essas são soluções constantes válidas porque para esses u_0 temos \cot u_0=0 e então u'(t)=0 para todo t.
Observação: valores com \sin u_0=0 (isto é u_0=k\pi) não são permitidos como soluções constantes porque aí \cot u_0 é indefinido e a EDO não faz sentido.

Passo 3

Agora buscamos soluções não-constantes. A EDO é separável. Partimos de
\frac{du}{dt}=\cot u\;\operatorname{sen} t.
Quando \cot u\neq0 (ou seja, \cos u\neq0) podemos multiplicar ambos os lados por \tan u (lembrando que \tan u=\dfrac{1}{\cot u}) e obter
\tan u\;\frac{du}{dt}=\operatorname{sen} t.
Isso é equivalente a separar variáveis:
\tan u\;du=\operatorname{sen} t\;dt.
Aqui fiz uma separação clássica: toda parte com u no lado esquerdo e toda parte com t no lado direito. A igualdade vale em intervalos onde as operações são permitidas (isto é, onde \cos u\neq0).

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \tan u\;du=\int \operatorname{sen} t\;dt.
Calcular essas integrais é padrão:
  • \displaystyle \int \operatorname{sen} t\;dt = -\cos t + C_1.
  • Para a integral de \tan u: usar \tan u=\dfrac{\operatorname{sen} u}{\cos u}. Observa-se que \dfrac{d}{du}(\ln|\cos u|) = -\tan u. Assim
\int \tan u\;du = -\ln|\cos u| + C_2.
Igualando as integrais (absorvendo constantes numa só) obtemos
-\ln|\cos u| = -\cos t + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Rearranjando e exponenciando:
\ln|\cos u| = \cos t + C'
|\cos u| = e^{C'} e^{\cos t}.
Definindo A=e^{C'}\ge0 e permitindo sinal, podemos escrever a forma mais simples com constante arbitrária real C:
\cos u(t)=C\,e^{\cos t},
onde C\in\mathbb{R} é constante de integração. (O caso C=0 corresponde a \cos u\equiv0, que devolve as soluções constantes u\equiv\pi/2+k\pi já encontradas.)
Importante sobre domínio: dado um C fixo e um t, o valor C e^{\cos t} tem que estar no intervalo [-1,1] para existir u real tal que \cos u dê esse valor. Portanto, para que a solução esteja definida em todo um intervalo de t, o parâmetro C deve ser tal que |C|e^{\cos t}\le1 nesse intervalo. Em particular, \cos t varia em [-1,1], então e^{\cos t} varia em [e^{-1},e]; isso impõe restrições que dependem de onde se quer a solução definida.

Passo 6

Se preferir uma forma explícita para u(t), a partir de \cos u(t)=C e^{\cos t} obtemos, para valores permitidos,
u(t)=\pm\operatorname{arccos}\big(C e^{\cos t}\big)+2\pi m,\qquad m\in\mathbb{Z},
onde se escolhe o sinal e o inteiro m de modo a garantir continuidade da solução no intervalo considerado e respeitar a condição |C|e^{\cos t}\le1.
Recapitulando: temos (i) a família implícita \cos u(t)=C e^{\cos t} com C constante (inclui C=0 dando as soluções constantes com \cos u\equiv0), e (ii) explicitamente u(t)=\pm\operatorname{arccos}\big(C e^{\cos t}\big)+2\pi m, sempre tomando cuidado com o domínio.

Resposta

\cos u(t)=C\,e^{\cos t},\quad C\in\mathbb{R} (com a restrição |C|e^{\cos t}\le1 no intervalo onde a solução é definida).
Equivalente explicitamente: u(t)=\pm\operatorname{arccos}\big(C e^{\cos t}\big)+2\pi m,\;m\in\mathbb{Z}.
Soluções constantes especiais: u(t)\equiv \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.

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