Encontre todas as soluções das seguintes EDO’s;
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede todas as soluções
. Aqui
é a função incógnita e
. Vou listar o que sabemos/precisamos:
- A equação relaciona a derivada de
com funções de e de . - Precisamos encontrar todas as funções
que satisfazem essa igualdade (soluções gerais). - Atenção: a função
não está definida quando . Portanto pontos onde exigem cuidado (podem ser singularidades da EDO).
Passo 2
Vamos procurar soluções constantes primeiro (isso é sempre um caso simples e útil).
Se constante, então
. A EDO vira
Se
Como
não é identicamente zero, para a igualdade valer para todo
precisamos de
, ou seja
. Assim
Essas são soluções constantes válidas porque para esses
temos
e então
para todo
.
Observação: valores com
(isto é
) não são permitidos como soluções constantes porque aí
é indefinido e a EDO não faz sentido.
Passo 3
Agora buscamos soluções não-constantes. A EDO é separável. Partimos de
Quando
(ou seja,
) podemos multiplicar ambos os lados por
(lembrando que
) e obter
Isso é equivalente a separar variáveis:
Aqui fiz uma separação clássica: toda parte com
no lado esquerdo e toda parte com
no lado direito. A igualdade vale em intervalos onde as operações são permitidas (isto é, onde
).
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Calcular essas integrais é padrão:
-
. - Para a integral de
: usar . Observa-se que . Assim
Igualando as integrais (absorvendo constantes numa só) obtemos
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Rearranjando e exponenciando:
Definindo
e permitindo sinal, podemos escrever a forma mais simples com constante arbitrária real
:
onde
é constante de integração. (O caso
corresponde a
, que devolve as soluções constantes
já encontradas.)
Importante sobre domínio: dado um
fixo e um
, o valor
tem que estar no intervalo
para existir
real tal que
dê esse valor. Portanto, para que a solução esteja definida em todo um intervalo de
, o parâmetro
deve ser tal que
nesse intervalo. Em particular,
varia em
, então
varia em
; isso impõe restrições que dependem de onde se quer a solução definida.
Passo 6
Se preferir uma forma explícita para
, a partir de
obtemos, para valores permitidos,
onde se escolhe o sinal e o inteiro
de modo a garantir continuidade da solução no intervalo considerado e respeitar a condição
.
Recapitulando: temos (i) a família implícita
com
constante (inclui
dando as soluções constantes com
), e (ii) explicitamente
, sempre tomando cuidado com o domínio.
Resposta
Equivalente explicitamente:
Soluções constantes especiais: