Dadas as funções:
f(x)=\operatorname{sen}(\operatorname{tg} 2 x), g(x)=2^{\operatorname{sen}(\pi x)} \text { e } h(x)=\cos \left(\frac{1-e^{2 x}}{1+e^{2 x}}\right) .
Analise as afirmativas seguintes.
I. f^{\prime}(x)=2 \cos (\operatorname{tg} 2 x) \operatorname{sec} ^{2}(2 x)
II. g^{\prime}(x)=2^{\operatorname{sen}(\pi x)}(\pi \ln 2) \cos (\pi x)
III. h^{\prime}(x)=\frac{4 e^{2 x}}{\left(1+e^{2 x}\right)^{2}} \operatorname{sen} \frac{1-e^{2 x}}{1+e^{2 x}}
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado dá três funções
f(x)=\sin\bigl(\tan(2x)\bigr),\quad g(x)=2^{\sin(\pi x)},\quad h(x)=\cos\!\Bigl(\frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}\Bigr)
e pede que analisemos as derivadas f'(x), g'(x) e h'(x). Vamos usar a regra da cadeia e as derivadas básicas de \sin, \tan, exponencial e potência a^u.

Passo 2

Derivada de f. Seja u(x)=\tan(2x). Então
f(x)=\sin\bigl(u(x)\bigr)
e
u'(x)=\operatorname{sec}^2(2x)\cdot2.
Pela regra da cadeia,
f'(x) =\cos\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) =\cos\bigl(\tan(2x)\bigr)\cdot\bigl(2\operatorname{sec}^2(2x)\bigr) =2\cos\bigl(\tan(2x)\bigr)\operatorname{sec}^2(2x).

Passo 3

Derivada de g. Seja v(x)=\sin(\pi x). Então
g(x)=2^{\,v(x)}.
Usando a regra da derivada de a^{v(x)},
g'(x) =2^{\,v(x)}\ln(2)\,v'(x),
e
v'(x)=\cos(\pi x)\cdot\pi.
Logo
g'(x) =2^{\sin(\pi x)}\ln(2)\,\bigl(\pi\cos(\pi x)\bigr) =2^{\sin(\pi x)}(\pi\ln2)\cos(\pi x).

Passo 4

Derivada de h. Seja
w(x)=\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}}.
Primeiro calculamos
w'(x) =\frac{(-2e^{2x})(1+e^{2x}) - (1-e^{2x})(2e^{2x})}{(1+e^{2x})^2} =\frac{-4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}.
Como h(x)=\cos\bigl(w(x)\bigr), pela regra da cadeia,
h'(x) =-\sin\bigl(w(x)\bigr)\,w'(x) =-\sin\!\Bigl(\tfrac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}\Bigr)\cdot\Bigl(-\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}\Bigr) =\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}\Bigr).

Passo 5

Concluímos que as três fórmulas dadas estão corretas.

Resposta

I, II e III.

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