7ạ QUESTÃO

Dadas as funções:
f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}, g(x)=\frac{x^{8}-1}{x^{5}-1} e h(x)=\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}.
Usando a regra de L’Hôspital, quando for apropriado, analise as afirmativas seguintes.
I. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\right)=1
II. \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^{8}-1}{x^{5}-1}\right)=\frac{8}{5}
III. \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}\right)=2
É correto o que se afirma em:

ALTERNATIVAS

I apenas.
II apenas.
I e II apenas.
II e III apenas.
I, II e III.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três limites envolvendo as funções
f(x)=\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} quando x\to\infty,
g(x)=\dfrac{x^{8}-1}{x^{5}-1} quando x\to1,
e
h(x)=\dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}} quando x\to0.
Vamos usar a regra de L\’Hôpital sempre que apareça uma indeterminação do tipo \tfrac{\infty}{\infty} ou \tfrac{0}{0}, e também no último caso usar série de Taylor.

Passo 2

Analisando
\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}
temos forma \tfrac{\infty}{\infty}. Aplicando L\’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x})} =\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac1x}{\tfrac1{2\sqrt{x}}} =\lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt{x}}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} =0.
Logo, a afirmativa I é falsa.

Passo 3

Analisando
\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^{8}-1}{x^{5}-1}
temos forma \tfrac{0}{0}. Aplicando L\’Hôpital:
\lim_{x\to1}\frac{x^{8}-1}{x^{5}-1} =\lim_{x\to1}\frac{8x^{7}}{5x^{4}} =\frac{8\cdot1^{7}}{5\cdot1^{4}} =\frac{8}{5}.
Portanto, a afirmativa II é verdadeira.

Passo 4

Analisando
\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}
temos forma \tfrac{0}{0}. Usando a expansão de Taylor de e^{x} em torno de 0,
e^{x}-1-x = \frac{x^{2}}{2} + O(x^{3}).
Dividindo por x^{2} resulta
\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}} =\frac12 + O(x),
logo
\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}=\frac12.
Isso mostra que a afirmativa III é falsa.

Passo 5

Das três afirmativas, apenas a II é correta.

Resposta

II apenas.

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