3^{\underline{\mathrm{a}}} ) Dada a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por T(x, y, z)=(x+y, z) determine [T]_{C}^{B}, onde B=\{(1,1,1),(1,2,0),(1,0,0)\} é uma base de \mathbb{R}^{3} e C=\{(1,2),(1,1)\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z)=(x+y,\;z)
e as bases
B=\{\,b_1=(1,1,1),\;b_2=(1,2,0),\;b_3=(1,0,0)\} \subset\mathbb{R}^3, \quad C=\{\,c_1=(1,2),\;c_2=(1,1)\} \subset\mathbb{R}^2.
Queremos a matriz de T na base B do domínio e C do contradomínio, isto é [T]_{C}^{B}. Para isso, calculamos T(b_j) e expressamos cada resultado em coordenadas na base C. Essas coordenadas formam as colunas de [T]_{C}^{B}.

Passo 2

Calcular T(b_1)\) e achar suas coordenadas em \(C\). \[T(b_1)=T(1,1,1)=(1+1,\;1)=(2,1).
Procuramos escalares a,b tais que
a\,(1,2)+b\,(1,1)=(2,1).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a+b=2,\\\\ 2a+b=1. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos a=-1\] e então \(b=3.
Logo as coordenadas de (2,1) em C são \bigl(-1,3\bigr). Essa será a primeira coluna de [T]_{C}^{B}.

Passo 3

Calcular T(b_2)\) e achar suas coordenadas em \(C\). \[T(b_2)=T(1,2,0)=(1+2,\;0)=(3,0).
Queremos a,b tais que
a\,(1,2)+b\,(1,1)=(3,0),
isto é
\begin{cases} a+b=3,\\\\ 2a+b=0. \end{cases}
Subtraindo, vem a=-3\] e \(b=6.
As coordenadas de (3,0) em C são \bigl(-3,6\bigr). Essa é a segunda coluna.

Passo 4

Calcular T(b_3)\) e achar suas coordenadas em \(C\). \[T(b_3)=T(1,0,0)=(1+0,\;0)=(1,0).
Procuramos a,b com
a\,(1,2)+b\,(1,1)=(1,0),
ou seja
\begin{cases} a+b=1,\\\\ 2a+b=0. \end{cases}
Da diferença obtemos a=-1\] e \(b=2.
Logo as coordenadas são \bigl(-1,2\bigr). Essa é a terceira coluna.

Passo 5

Agora montamos [T]_{C}^{B} com as colunas \bigl(-1,3\bigr), \bigl(-3,6\bigr) e \bigl(-1,2\bigr). Assim, em coordenadas temos a matriz 2\times3:
[T]_{C}^{B} =\begin{pmatrix} -1 & -3 & -1\\\ \;\,3 & \;\,6 & \;\,2 \end{pmatrix}.

Resposta

[T]_{C}^{B} =\begin{pmatrix} -1 & -3 & -1\\\ \;3 & \;6 & \;2 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados