60 Encontre a solução geral de 2 y^prime prime prime+7 y^prime prime+4 y^prime+4 y=0 se m1=12 é uma raíz da sua equação auxiliar.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver a EDO linear homogênea de terceira ordem
2y'''+7y''+4y'+4y=0
São Equações Diferenciais com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
  1. Montar a equação característica;
  2. Usar a informação de que m1=tfrac12 é uma raiz;
  3. Fatorar o polinômio pra achar as outras duas raízes;
  4. Combinar as soluções exponenciais pra escrever a solução geral.

Passo 2

Teoria básica: pra EDO do tipo
ay'''!+!by''!+!cy'!+!dy=0
a gente assume uma solução y=e^mx.
Substituindo, cada derivada traz um fator m, e sobra um polinômio em m chamado equação característica.
Aqui:
y=e^mx;Longrightarrow;y'=m,e^mx,;y''=m^2e^mx,;y'''=m^3e^mx
Substituindo em 2y'''+7y''+4y'+4y=0 e dividindo por e^mxneq0, dá
2m^3+7m^2+4m+4=0

Passo 3

A gente já sabe que m1=tfrac12 zera esse polinômio, então podemos dividir
2m^3+7m^2+4m+4
por
l(m-tfrac12r)
usando divisão de polinômio:
  • Primeiro termo: 2m^3div m=2m^2. Multiplicando (m-tfrac12)cdot2m^2=2m^3-m^2.
  • Subtraindo, sobra 8m^2+4m.
  • Seguindo: 8m^2div m=8m, multiplica (m-tfrac12)cdot8m=8m^2-4m.
  • Subtraindo, sobra 8m+4.
  • Por fim: 8mdiv m=8, multiplica (m-tfrac12)cdot8=8m-4.
  • Subtraindo, resto zero (era o que a gente esperava).
O quociente é
2m^2+8m+8=0Longrightarrow m^2+4m+4=0
Resolvendo a quadrática:
De<a=4^2-4cdot1cdot4=16-16=0;Longrightarrow;m2,3=-42=-2
(com multiplicidade 2).

Passo 4

Cada raiz gera uma solução independente:
  • Para m1=tfrac12, y1(x)=e^tfracx2.
  • Para m2=m3=-2 (raiz dupla), a gente usa
    y2(x)=e^-2x e y3(x)=x,e^-2x.
    A solução geral é combinação linear dessas três:

Resposta

boxedy(x)=C1,e^tfracx2 ;+;C2,e^-2x;+;C3,x,e^-2x,
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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