60 Encontre a solução geral de
se
é uma raíz da sua equação auxiliar.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente resolver a EDO linear homogênea de terceira ordem
São Equações Diferenciais com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Montar a equação característica;
- Usar a informação de que
é uma raiz; - Fatorar o polinômio pra achar as outras duas raízes;
- Combinar as soluções exponenciais pra escrever a solução geral.
Passo 2
Teoria básica: pra EDO do tipo
a gente assume uma solução
.
Substituindo, cada derivada traz um fator , e sobra um polinômio em
chamado equação característica.
Aqui:
Substituindo, cada derivada traz um fator
Aqui:
Substituindo em
e dividindo por
, dá
Passo 3
A gente já sabe que
zera esse polinômio, então podemos dividir
por
usando divisão de polinômio:
- Primeiro termo:
. Multiplicando . - Subtraindo, sobra
. - Seguindo:
, multiplica . - Subtraindo, sobra
. - Por fim:
, multiplica . - Subtraindo, resto zero (era o que a gente esperava).
O quociente é
Resolvendo a quadrática:
(com multiplicidade 2).
Passo 4
Cada raiz gera uma solução independente:
- Para
, . - Para
(raiz dupla), a gente usa
e .
A solução geral é combinação linear dessas três:
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.