Faça o esboço da região
no plano cartesiano e descreva
como sendo do tipo I ou do tipo II. Caso deseje ou não seja possível descrevê-la como sendo uma única região desses dois tipos, subdivida-a em sub-regiões do tipo I ou do tipo II e descreva-as.
é a região delimitada pelas curvas dadas pelas equações
e
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da região
no plano cartesiano e sua descrição como região do tipo I ou do tipo II. A região é limitada por três curvas:
Para resolver, vamos primeiro encontrar os pontos de interseção e depois formular os limites de integração para cada tipo de região.
Passo 2
Para esboçar
, note que a curva
pode ser invertida como
. Ela cruza a reta
quando
Os vértices de
são, portanto,
na interseção de
com
,
em
e
em
. Assim,
é a região do primeiro quadrante sob a reta horizontal
, acima da parábola
e à direita de
.
Passo 3
Para descrever
como região do tipo I (varia-se
primeiro), observamos que
varia de
até
e, para cada
nesse intervalo,
varia de
até
. Logo,
Passo 4
De modo análogo,
também pode ser vista como região do tipo II (varia-se
primeiro). Aqui
varia de
até
e, para cada
nesse intervalo,
varia de
até
. Assim,
Resposta
Esboço: região do primeiro quadrante limitada pela curva
, pela reta horizontal
e pela reta vertical
, com vértices em
,
e
.
Descrição como região do tipo I:
Descrição como região do tipo I:
Descrição como região do tipo II: