Dado o polinômio,
a) Obtenha o valor numérico de
aplicando o algoritmo do método de Briot-Ruffini-Horner. Resp:
b) Calcule o número de raízes positivas e negativas pela Regra de Descartes.
Resp:
ou 5 ou 3 ou
ou 0
b) Calcule o número de raízes positivas e negativas pela Regra de Descartes.
Passo 1
A questão traz o polinômio abaixo e pede (a) avaliar em x=2 pelo método de Briot-Ruffini/Horner e (b) usar a regra de Descartes para estimar o número de raízes positivas e negativas.
Passo 2
Temos o polinômio
Para resolver vamos usar o Algoritmo de Horner (para avaliar P(2)) e a Regra de Descartes (para contar mudanças de sinal).
Passo 3
Aplicamos Horner em x=2. Listamos os coeficientes: a₀=3, a₁=2, a₂=-10, a₃=2, a₄=-15, a₅=-3, a₆=2, a₇=-16, a₈=3, a₉=-5.
Definimos b₀=a₀=3 e, para k de 1 a 9, usamos .
Calculando:
b₁=2·3+2=8;
b₂=2·8−10=6;
b₃=2·6+2=14;
b₄=2·14−15=13;
b₅=2·13−3=23;
b₆=2·23+2=48;
b₇=2·48−16=80;
b₈=2·80+3=163;
b₉=2·163−5=321.
O valor P(2) é justamente b₉=321.
Definimos b₀=a₀=3 e, para k de 1 a 9, usamos
Calculando:
b₁=2·3+2=8;
b₂=2·8−10=6;
b₃=2·6+2=14;
b₄=2·14−15=13;
b₅=2·13−3=23;
b₆=2·23+2=48;
b₇=2·48−16=80;
b₈=2·80+3=163;
b₉=2·163−5=321.
O valor P(2) é justamente b₉=321.
Passo 4
Agora usamos a Regra de Descartes para raízes positivas: contamos as mudanças de sinal nos coeficientes de P(x). A sequência de sinais de 3,2,–10,2,–15,–3,2,–16,3,–5 é +,+,−,+,−,−,+,−,+,−, totalizando 7 mudanças. Portanto o número de raízes positivas satisfaz n⁺=7 ou 5 ou 3 ou 1.
Passo 5
Por fim, para raízes negativas avaliamos P(−x). Os coeficientes tornam-se –3,2,10,2,15,–3,–2,–16,–3,–5, com sinais −,+,+,+,+,−,−,−,−,−, totalizando 2 mudanças de sinal. Logo o número de raízes negativas satisfaz n⁻=2 ou 0.
Resposta
P(2)=321; número de raízes positivas n⁺=7 ou 5 ou 3 ou 1; número de raízes negativas n⁻=2 ou 0.