Faça o esboço da região
no plano cartesiano e descreva
como sendo do tipo I ou do tipo II. Caso deseje ou não seja possível descrevê-la como sendo uma única região desses dois tipos, subdivida-a em sub-regiões do tipo I ou do tipo II e descreva-as.
é a região delimitada entre os gráficos de
e
com
variando entre 0 e
.
Passo 1
O enunciado pede uma região
no plano limitada pelas curvas
e
para
variando de
até
. Vamos esboçar essas curvas, encontrar onde elas se cruzam e, em seguida, descrever
como região do tipo I (varrendo em
) ou do tipo II (varrendo em
).
Passo 2
Esboço das curvas:
– Para : começa em
e cresce até
.
– Para : começa em
e decresce até
.
Em ,
e
. Em
,
. A região
é o “favo” entre essas duas curvas, de baixo pela seno e de cima pela cosseno.
– Para
– Para
Em
Passo 3
Encontrar ponto de interseção:
Portanto as curvas só se cruzam em
,
.
Passo 4
Descrição como região do tipo I (varrendo em
):
Aqui para cada
fixo em
o
varia de
(curva inferior) até
(curva superior).
Passo 5
Descrição alternativa como região do tipo II (varrendo em
):
Para cada
em
,
vai da curva inversa de
até a inversa de
.
Resposta
A região
pode ser descrita de maneira simples como região do tipo I:
Opcionalmente, quando se quer varrer em
, basta usar a descrição do tipo II: