Faça o esboço da região D no plano cartesiano e descreva D como sendo do tipo I ou do tipo II. Caso deseje ou não seja possível descrevê-la como sendo uma única região desses dois tipos, subdivida-a em sub-regiões do tipo I ou do tipo II e descreva-as.
D é a região delimitada entre os gráficos de y=sin x e y=cos x com x variando entre 0 e pi4.

Passo 1

O enunciado pede uma região D no plano limitada pelas curvas y=sin x e y=cos x para x variando de 0 até pi/4. Vamos esboçar essas curvas, encontrar onde elas se cruzam e, em seguida, descrever D como região do tipo I (varrendo em x) ou do tipo II (varrendo em y).

Passo 2

Esboço das curvas:
– Para y=sin x: começa em (0,0) e cresce até l(pi/4,raiz2/2r).
– Para y=cos x: começa em (0,1) e decresce até l(pi/4,raiz2/2r).
Em x=0, sin0=0 e cos0=1. Em x=pi/4, sin(pi/4)=cos(pi/4)=raiz2/2. A região D é o “favo” entre essas duas curvas, de baixo pela seno e de cima pela cosseno.

Passo 3

Encontrar ponto de interseção:
sin x = cos x Longrightarrow tan x = 1 Longrightarrow x = pi4
Portanto as curvas só se cruzam em x=pi/4, y=raiz2/2.

Passo 4

Descrição como região do tipo I (varrendo em x):
D = l(x,y)mid 0 <= x <= tfracpi4,;sin x <= y <= cos xr
Aqui para cada x fixo em [0,pi/4] o y varia de sin x (curva inferior) até cos x (curva superior).

Passo 5

Descrição alternativa como região do tipo II (varrendo em y):
D = l(x,y)mid 0 <= y <= tfracraiz22,;arcsin y <= x <= arccos yr
Para cada y em [0,raiz2/2], x vai da curva inversa de sin até a inversa de cos.

Resposta

A região D pode ser descrita de maneira simples como região do tipo I:
D = l(x,y)mid 0 <= x <= tfracpi4,;sin x <= y <= cos xr
Opcionalmente, quando se quer varrer em y, basta usar a descrição do tipo II:
D = l(x,y)mid 0 <= y <= tfracraiz22,;arcsin y <= x <= arccos yr

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