7.62 Considere uma sala de aula de aproximadamente 5 \mathrm{~m} \times 10 \mathrm{~m} \times 3 \mathrm{~m}. Inicialmente, t=20^{\circ} \mathrm{C} e p=1 atm. Há 50 pessoas na sala, cada uma perdendo energia para a sala a uma velocidade média de 150 watts. Assuma que as paredes, teto, chão e mobília estão perfeitamente isolados e não absorvem qualquer calor. Quanto tempo durará a prova de físico-química, se o professor concordar, inadvertidamente, em liberar a turma quando a temperatura do ar na sala atingir a temperatura do corpo, 37^{\circ} \mathrm{C} ? Para o ar, \bar{C}_{p}=\frac{7}{2} R. Deve-se negligenciar a perda de ar para fora ocorrida à medida que a temperatura sobe.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma quantidade bem específica:
  • Dimensões da sala (volume): 5\\ \text{m}\times10\\ \text{m}\times3\\ \text{m}.
  • Portanto o volume da sala é V=150\\ \text{m}^3.
  • Condições iniciais do ar: temperatura inicial T_i=20^\circ\text{C} e pressão inicial p_0=1\\ \text{atm}.
  • Número de pessoas: 50.
  • Potência dissipada por pessoa (calor liberado para o ar): 150\\ \text{W} por pessoa.
  • As paredes, teto, chão e mobília são perfeitamente isolantes (ou seja, nenhum calor sai da sala).
  • A prova termina quando a temperatura do ar atingir T_f=37^\circ\text{C}.
  • Para o ar é dado \bar{C}_p=\dfrac{7}{2}R (capacidade térmica molar a pressão constante).
  • Deve-se negligenciar perda de ar para fora enquanto a temperatura sobe.
O que o problema pede:
  • Determinar quanto tempo t leva até que a temperatura do ar na sala suba de 20^\circ\text{C} para 37^\circ\text{C}, usando os dados acima.

Passo 2

Ideia física e escolhas que vamos usar (explicação didática passo a passo):
  • A sala é rígida (dimensões fixas) e está perfeitamente isolada. Logo, o volume é constante e não há troca de calor com o exterior. Assim, toda a energia liberada pelas pessoas fica no ar da sala, aumentando a energia interna do ar.
  • Em um processo a volume constante não há trabalho de expansão: W=p\,\Delta V=0 porque \Delta V=0. Portanto a primeira lei da termodinâmica reduz-se a
\Delta U = Q_{\text{in}},
onde \Delta U é a variação da energia interna do ar e Q_{\text{in}} é o calor total fornecido pelas pessoas.
  • Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura e, por mol, vale
\Delta U = n\,\bar{C}_V\,\Delta T,
onde:
  • n é o número de mols de ar na sala;
  • \bar{C}_V é a capacidade térmica molar a volume constante (J mol{-1}K{-1});
  • \Delta T = T_f - T_i é a variação de temperatura em kelvin.
  • O enunciado nos deu \bar{C}_p=\dfrac{7}{2}R. Para um gás ideal vale sempre \bar{C}_p-\bar{C}_V=R. Portanto
\bar{C}_V=\bar{C}_p-R=\frac{7}{2}R-R=\frac{5}{2}R.
  • A energia total fornecida pelas pessoas em tempo t é
Q_{\text{in}} = P_{\text{tot}}\,t,
onde P_{\text{tot}} é a potência total liberada pelas pessoas.
  • Igualando energia fornecida à variação de energia interna:
n\,\bar{C}_V\,\Delta T = P_{\text{tot}}\,t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{n\,\bar{C}_V\,\Delta T}{P_{\text{tot}}}.
  • Precisamos então calcular n, \bar{C}_V, \Delta T e P_{\text{tot}}, e inserir na fórmula acima.

Passo 3

Calcular P_{\text{tot}} (potência total liberada pelas pessoas):
  • Cada pessoa libera 150\\ \text{W}. Com 50 pessoas,
P_{\text{tot}}=50\times150\\ \text{W}=7500\\ \text{W}.
Calcular \Delta T em kelvin (sempre trabalhar em kelvin nas contas térmicas):
  • T_i=20^\circ\text{C}=293{,}15\\ \text{K}.
  • T_f=37^\circ\text{C}=310{,}15\\ \text{K}.
  • Logo
\Delta T=T_f-T_i=310{,}15-293{,}15=17{,}0\\ \text{K}.

Passo 4

Calcular o número de mols n do ar na sala usando a equação dos gases ideais no estado inicial (quando p=1\\ \text{atm} e T=T_i):
A equação dos gases ideais é
pV=nRT.
Logo
n=\frac{p_0 V}{R T_i}.
Substituindo valores numéricos (usar p_0=1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa} e R=8{,}314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}):
n=\frac{(1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa})\times(150\\ \text{m}^3)}{8{,}314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}\times293{,}15\\ \text{K}}.
Agora calcular numericamente passo a passo:
  • Numerador: 1{,}013\times10^{5}\times150=1{,}5195\times10^{7}.
  • Denominador: 8{,}314\times293{,}15\approx2437{,}2451.
  • Portanto
n\approx\frac{1{,}5195\times10^{7}}{2437{,}2451}\approx6234{,}5\\ \text{mol}.

Passo 5

Calcular \bar{C}_V (capacidade térmica molar a volume constante) a partir de \bar{C}_p dado:
  • Foi dado \bar{C}_p=\dfrac{7}{2}R. Então
\bar{C}_V=\bar{C}_p-R=\frac{7}{2}R-R=\frac{5}{2}R.
  • Numericamente,
\bar{C}_V=\frac{5}{2}\times8{,}314\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}=20{,}785\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1}.

Passo 6

Calcular a energia necessária Q_{\text{in}}=n\,\bar{C}_V\,\Delta T:
  • Usando n\approx6234{,}5\\ \text{mol}, \bar{C}_V=20{,}785\\ \text{J mol}^{-1}\text{K}^{-1} e \Delta T=17{,}0\\ \text{K}:
Q_{\text{in}}=6234{,}5\times20{,}785\times17{,}0.
  • Primeiro calcule \bar{C}_V\Delta T=20{,}785\times17{,}0=353{,}345\\ \text{J mol}^{-1}.
  • Então
Q_{\text{in}}\approx6234{,}5\times353{,}345\approx2{,}202{,}928\\ \text{J}.

Passo 7

Calcular o tempo t a partir de t=Q_{\text{in}}/P_{\text{tot}}:
  • Com Q_{\text{in}}\approx2{,}202{,}928\\ \text{J} e P_{\text{tot}}=7500\\ \text{W},
t=\frac{2{,}202{,}928\\ \text{J}}{7500\\ \text{W}}\approx293{,}7\\ \text{s}.
  • Converter para minutos:
293{,}7\\ \text{s}\approx\frac{293{,}7}{60}\\ \text{min}\approx4{,}9\\ \text{min}.

Passo 8

Comentário final (motivação e empatia rápida):
  • Resultado intuitivo: com 50 pessoas gerando muita potência total (7,5 kW) e o ar sendo relativamente pouco “pesado” térmicamente, a temperatura sobe rápido — por isso o tempo é curto (alguns minutos). Não se assuste se parecer pouco: a massa do ar na sala é da ordem de cento e poucas quilogramas e a potência total é grande.
  • Essa resposta usa as aproximações pedidas: sala rígida, isolada, ar ideal e sem perda de ar para fora.

Resposta

t\approx2{,}94\times10^{2}\\ \text{s}\approx4{,}9\\ \text{min}

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