7.62 Considere uma sala de aula de aproximadamente
. Inicialmente,
e
atm. Há 50 pessoas na sala, cada uma perdendo energia para a sala a uma velocidade média de 150 watts. Assuma que as paredes, teto, chão e mobília estão perfeitamente isolados e não absorvem qualquer calor. Quanto tempo durará a prova de físico-química, se o professor concordar, inadvertidamente, em liberar a turma quando a temperatura do ar na sala atingir a temperatura do corpo,
? Para o ar,
. Deve-se negligenciar a perda de ar para fora ocorrida à medida que a temperatura sobe.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma quantidade bem específica:
- Dimensões da sala (volume):
. - Portanto o volume da sala é
. - Condições iniciais do ar: temperatura inicial
e pressão inicial . - Número de pessoas:
. - Potência dissipada por pessoa (calor liberado para o ar):
por pessoa. - As paredes, teto, chão e mobília são perfeitamente isolantes (ou seja, nenhum calor sai da sala).
- A prova termina quando a temperatura do ar atingir
. - Para o ar é dado
(capacidade térmica molar a pressão constante). - Deve-se negligenciar perda de ar para fora enquanto a temperatura sobe.
O que o problema pede:
- Determinar quanto tempo
leva até que a temperatura do ar na sala suba de para , usando os dados acima.
Passo 2
Ideia física e escolhas que vamos usar (explicação didática passo a passo):
- A sala é rígida (dimensões fixas) e está perfeitamente isolada. Logo, o volume é constante e não há troca de calor com o exterior. Assim, toda a energia liberada pelas pessoas fica no ar da sala, aumentando a energia interna do ar.
- Em um processo a volume constante não há trabalho de expansão:
porque . Portanto a primeira lei da termodinâmica reduz-se a
onde
é a variação da energia interna do ar e
é o calor total fornecido pelas pessoas.
- Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura e, por mol, vale
onde:
-
é o número de mols de ar na sala; -
é a capacidade térmica molar a volume constante (J mol{-1}K{-1}); -
é a variação de temperatura em kelvin. - O enunciado nos deu
. Para um gás ideal vale sempre . Portanto
- A energia total fornecida pelas pessoas em tempo
é
onde
é a potência total liberada pelas pessoas.
- Igualando energia fornecida à variação de energia interna:
- Precisamos então calcular
, , e , e inserir na fórmula acima.
Passo 3
Calcular
(potência total liberada pelas pessoas):
- Cada pessoa libera
. Com pessoas,
Calcular
em kelvin (sempre trabalhar em kelvin nas contas térmicas):
-
. -
. - Logo
Passo 4
Calcular o número de mols
do ar na sala usando a equação dos gases ideais no estado inicial (quando
e
):
A equação dos gases ideais é
Logo
Substituindo valores numéricos (usar
e
):
Agora calcular numericamente passo a passo:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Portanto
Passo 5
Calcular
(capacidade térmica molar a volume constante) a partir de
dado:
- Foi dado
. Então
- Numericamente,
Passo 6
Calcular a energia necessária
:
- Usando
, e :
- Primeiro calcule
. - Então
Passo 7
Calcular o tempo
a partir de
:
- Com
e ,
- Converter para minutos:
Passo 8
Comentário final (motivação e empatia rápida):
- Resultado intuitivo: com 50 pessoas gerando muita potência total (7,5 kW) e o ar sendo relativamente pouco “pesado” térmicamente, a temperatura sobe rápido — por isso o tempo é curto (alguns minutos). Não se assuste se parecer pouco: a massa do ar na sala é da ordem de cento e poucas quilogramas e a potência total é grande.
- Essa resposta usa as aproximações pedidas: sala rígida, isolada, ar ideal e sem perda de ar para fora.