62 Um jogador de golfe precisa de três tacadas para colocar a bola no buraco. A primeira tacada lança a bola
para o norte, a segunda
para sudeste e a terceira
para sudoeste. Determine (a) o módulo e (b) a direção do deslocamento necessário para colocar a bola no buraco na primeira tacada.
Passo 1
O enunciado dá três deslocamentos (tacadas) e pede que se determine o deslocamento único que, feito na primeira tacada, colocaria a bola no buraco. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.
-
Dados:
- Primeira tacada: deslocamento de
para o norte. - Segunda tacada: deslocamento de
para sudeste. - Terceira tacada: deslocamento de
para sudoeste.
- Primeira tacada: deslocamento de
-
Perguntas:
- (a) Qual o módulo do deslocamento único que colocaria a bola no buraco na primeira tacada?
- (b) Qual a direção desse deslocamento único?
Passo 2
Escolha de sistema de referência e ideia geral (declaração de método).
- Vou usar um sistema cartesiano plano com eixo
apontando para leste (positivo) e eixo apontando para norte (positivo). - Notação:
é o vetor unitário para leste e é o vetor unitário para norte. - Regra de decomposição: para um vetor com módulo
e ângulo medido a partir do eixo positivo, as componentes são onde é a componente leste (positiva para leste) e é a componente norte (positiva para norte). - Observação sobre direções diagonais:
- “Sudeste” significa exatamente 45° ao sul de leste, ou seja, direção com componentes
em e em , com ângulo medido desde o eixo . - “Sudoeste” significa 45° ao sul de oeste, ou seja, componentes
em e em , com ângulo ou, mais simples, componentes iguais em módulo e sinais negativos.
- “Sudeste” significa exatamente 45° ao sul de leste, ou seja, direção com componentes
Passo 3
Escrever os vetores das tacadas em componentes (usando
).
- Primeira tacada (norte):
- Segunda tacada (sudeste,
): Calculei a própria constante: Assim
Passo 4
Componente da terceira tacada (sudoeste,
):
- Usando o mesmo raciocínio (componentes iguais em módulo, sinais negativos):
Calculei a constante: Assim
Passo 5
Somar as componentes para obter o deslocamento resultante
.
- Componente
(leste): - Componente
(norte): - Logo
Passo 6
Calcular o módulo do deslocamento usando o teorema de Pitágoras (a magnitude de um vetor em componentes é
).
- Fórmula:
- Substituindo os valores:
Calculando:
- Arredondando para três algarismos significativos (como os dados), dá
Passo 7
Determinar a direção do deslocamento (ângulo entre o vetor resultante e o norte, indicando para que lado).
- Como escolhemos
para leste e para norte, uma forma prática é dar o ângulo medido a partir do norte em direção ao leste (isto é, “a leste do norte”): Aqui é a componente leste e a componente norte. - Substituindo:
- Interpretação: o vetor aponta para
a leste do norte (ou, em notação de rumo, ).
Passo 8
Resumo final e dica prática para prova: para resolver esse tipo de problema sempre decomponha movimentos diagonais em componentes ortogonais (usando
quando é sudeste/sudoeste), some as componentes e então use Pitágoras para o módulo e arctan para a direção. Respira, faz devagar e repete os passos — dá certo.
Resposta
(a)
(b) a leste do norte
(b)