62 Um jogador de golfe precisa de três tacadas para colocar a bola no buraco. A primeira tacada lança a bola 3,66 \mathrm{~m} para o norte, a segunda 1,83 \mathrm{~m} para sudeste e a terceira 0,91 \mathrm{~m} para sudoeste. Determine (a) o módulo e (b) a direção do deslocamento necessário para colocar a bola no buraco na primeira tacada.

Passo 1

O enunciado dá três deslocamentos (tacadas) e pede que se determine o deslocamento único que, feito na primeira tacada, colocaria a bola no buraco. Vou listar claramente os dados e o que é pedido.
  • Dados:
    • Primeira tacada: deslocamento de 3,66\\ \mathrm{m} para o norte.
    • Segunda tacada: deslocamento de 1,83\\ \mathrm{m} para sudeste.
    • Terceira tacada: deslocamento de 0,91\\ \mathrm{m} para sudoeste.
  • Perguntas:
    • (a) Qual o módulo do deslocamento único que colocaria a bola no buraco na primeira tacada?
    • (b) Qual a direção desse deslocamento único?

Passo 2

Escolha de sistema de referência e ideia geral (declaração de método).
  • Vou usar um sistema cartesiano plano com eixo x apontando para leste (positivo) e eixo y apontando para norte (positivo).
  • Notação: \hat{\mathbf{i}} é o vetor unitário para leste e \hat{\mathbf{j}} é o vetor unitário para norte.
  • Regra de decomposição: para um vetor com módulo R e ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo, as componentes são R_x = R\cos\theta,\qquad R_y = R\sin\theta,onde R_x é a componente leste (positiva para leste) e R_y é a componente norte (positiva para norte).
  • Observação sobre direções diagonais:
    • “Sudeste” significa exatamente 45° ao sul de leste, ou seja, direção com componentes + em x e - em y, com ângulo \theta=-45^\circ medido desde o eixo x.
    • “Sudoeste” significa 45° ao sul de oeste, ou seja, componentes - em x e - em y, com ângulo \theta=225^\circ ou, mais simples, componentes iguais em módulo e sinais negativos.

Passo 3

Escrever os vetores das tacadas em componentes (usando \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}).
  • Primeira tacada (norte): \vec{A} = 0\hat{\mathbf{i}} + 3,66\hat{\mathbf{j}}.
  • Segunda tacada (sudeste, 1,83\\ \mathrm{m}): \vec{B} = 1,83\cos45^\circ\,\hat{\mathbf{i}} - 1,83\sin45^\circ\,\hat{\mathbf{j}} = 1,83\frac{\sqrt{2}}{2}\,\hat{\mathbf{i}} - 1,83\frac{\sqrt{2}}{2}\,\hat{\mathbf{j}}.Calculei a própria constante: 1,83\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 1,83\times 0,70710678 \approx 1,294.Assim \vec{B}\approx 1,294\hat{\mathbf{i}} - 1,294\hat{\mathbf{j}}.

Passo 4

Componente da terceira tacada (sudoeste, 0,91\\ \mathrm{m}):
  • Usando o mesmo raciocínio (componentes iguais em módulo, sinais negativos): \vec{C} = -0,91\cos45^\circ\,\hat{\mathbf{i}} - 0,91\sin45^\circ\,\hat{\mathbf{j}} = -0,91\frac{\sqrt{2}}{2}\,\hat{\mathbf{i}} - 0,91\frac{\sqrt{2}}{2}\,\hat{\mathbf{j}}.Calculei a constante: 0,91\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,91\times 0,70710678 \approx 0,64347.Assim \vec{C}\approx -0,64347\hat{\mathbf{i}} - 0,64347\hat{\mathbf{j}}.

Passo 5

Somar as componentes para obter o deslocamento resultante \vec{R}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}.
  • Componente x (leste): R_x = 0 + 1,294 + (-0,64347) = 1,294 - 0,64347 \approx 0,65053.
  • Componente y (norte): R_y = 3,66 + (-1,294) + (-0,64347) = 3,66 - 1,294 - 0,64347 \approx 1,72253.
  • Logo \vec{R}\approx 0,65053\hat{\mathbf{i}} + 1,72253\hat{\mathbf{j}}.

Passo 6

Calcular o módulo do deslocamento usando o teorema de Pitágoras (a magnitude de um vetor em componentes é \sqrt{R_x^2+R_y^2}).
  • Fórmula: R = \sqrt{R_x^2+R_y^2}.
  • Substituindo os valores: R \approx \sqrt{(0,65053)^2 + (1,72253)^2}.Calculando: (0,65053)^2\approx 0,42319,\qquad (1,72253)^2\approx 2,96711,
R \approx \sqrt{0,42319+2,96711}=\sqrt{3,39030}\approx 1,8406.
  • Arredondando para três algarismos significativos (como os dados), dá R \approx 1,84\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Determinar a direção do deslocamento (ângulo entre o vetor resultante e o norte, indicando para que lado).
  • Como escolhemos x para leste e y para norte, uma forma prática é dar o ângulo \varphi medido a partir do norte em direção ao leste (isto é, “a leste do norte”): \varphi = \arctan\!\left(\frac{R_x}{R_y}\right).Aqui R_x é a componente leste e R_y a componente norte.
  • Substituindo: \varphi = \arctan\!\left(\frac{0,65053}{1,72253}\right)\approx \arctan(0,3778)\approx 20,7^\circ.
  • Interpretação: o vetor aponta para 20,7^\circ a leste do norte (ou, em notação de rumo, N\\\ 20,7^\circ\\ E).

Passo 8

Resumo final e dica prática para prova: para resolver esse tipo de problema sempre decomponha movimentos diagonais em componentes ortogonais (usando 45^\circ quando é sudeste/sudoeste), some as componentes e então use Pitágoras para o módulo e arctan para a direção. Respira, faz devagar e repete os passos — dá certo.

Resposta

(a) 1,84\\ \mathrm{m}
(b) 20,7^\circ a leste do norte

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