65 Um manifestante com placa de protesto parte da origem de um sistema de coordenadas
, com o plano
na horizontal. Ele se desloca 40 m no sentido negativo do eixo
, faz uma curva de noventa graus à esquerda, caminha mais 20 m e sobe até o alto de uma torre com 25 m de altura. (a) Na notação dos vetores unitários, qual é o deslocamento da placa do início ao fim? (b) O manifestante deixa cair a placa, que vai parar na base da torre. Qual é o módulo do deslocamento total, do início até esse novo fim?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do deslocamento:
- Parte da origem
. - Primeiro trecho: caminha
no sentido negativo do eixo . - Faz uma curva de
à esquerda e caminha mais . - Sobe até o alto de uma torre com
de altura (isso é um deslocamento vertical para cima).
- Parte da origem
- Perguntas:
- (a) Na notação dos vetores unitários, qual é o deslocamento da placa do início ao fim? (ou seja, do ponto inicial até o topo da torre)
- (b) O manifestante deixa cair a placa, que vai parar na base da torre. Qual é o módulo do deslocamento total, do início até esse novo fim? (ou seja, magnitude do vetor desde a origem até a base da torre)
Passo 2
Explicação rápida e intuitiva sobre vetores e vetores unitários (aula curta):
- Um deslocamento em 3D pode ser escrito por componentes ao longo dos eixos
. Escrevemos o vetor deslocamento como combinação linear dos vetores unitários: onde é o vetor unitário na direção positiva de , na direção positiva de e na direção positiva de . - Se um deslocamento tem componentes
, , , escrevemos Cada número é a projeção do deslocamento nesse eixo (quanto se moveu em cada direção). - Para achar o módulo (comprimento) de
usamos o teorema de Pitágoras em 3D:
Passo 3
Determinar a orientação do segundo trecho após a curva de
:
- Inicialmente ele caminha no sentido negativo de
(isto é, no sentido ). - Se alguém caminha no sentido negativo de
e faz uma curva de à esquerda, passa a caminhar no sentido negativo de (imagine-se de frente para o eixo : a sua esquerda é a direção ). Portanto o segundo trecho é ao longo de .
Passo 4
Escrever cada trecho como vetor (pegando os dados do enunciado):
- Primeiro trecho:
no sentido negativo de → vetor - Segundo trecho:
no sentido negativo de → vetor - Terceiro trecho: subida
para cima (positivo em ) → vetor
Passo 5
Somar os vetores para obter o deslocamento total do início até o topo da torre (parte (a)):
- Soma componente a componente:
- Escrevendo de forma limpa:
Isso responde a parte (a): é o vetor deslocamento da origem até o topo da torre.
Passo 6
Explicação de como será o deslocamento quando a placa cai até a base da torre (entendimento do problema da parte (b)):
- Ao cair, a placa vai para a base da torre; isso significa que o ponto final agora tem as mesmas coordenadas horizontais do topo da torre (mesmo
e ) mas (chão). - Portanto o deslocamento do início até esse novo fim é o vetor com componentes
, , .
Passo 7
Calcular o módulo do deslocamento da origem até a base da torre (parte (b)):
- Aplicando a fórmula do módulo:
- Calcular os quadrados:
- Somando:
- Portanto
- Simplificando a raiz:
Resposta
(a)
(b)
(b)