65 Um manifestante com placa de protesto parte da origem de um sistema de coordenadas x y z, com o plano x y na horizontal. Ele se desloca 40 m no sentido negativo do eixo x, faz uma curva de noventa graus à esquerda, caminha mais 20 m e sobe até o alto de uma torre com 25 m de altura. (a) Na notação dos vetores unitários, qual é o deslocamento da placa do início ao fim? (b) O manifestante deixa cair a placa, que vai parar na base da torre. Qual é o módulo do deslocamento total, do início até esse novo fim?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do deslocamento:
    • Parte da origem (0,0,0).
    • Primeiro trecho: caminha 40\\ \text{m} no sentido negativo do eixo x.
    • Faz uma curva de 90^\circ à esquerda e caminha mais 20\\ \text{m}.
    • Sobe até o alto de uma torre com 25\\ \text{m} de altura (isso é um deslocamento vertical para cima).
  • Perguntas:
    • (a) Na notação dos vetores unitários, qual é o deslocamento da placa do início ao fim? (ou seja, do ponto inicial até o topo da torre)
    • (b) O manifestante deixa cair a placa, que vai parar na base da torre. Qual é o módulo do deslocamento total, do início até esse novo fim? (ou seja, magnitude do vetor desde a origem até a base da torre)

Passo 2

Explicação rápida e intuitiva sobre vetores e vetores unitários (aula curta):
  • Um deslocamento em 3D pode ser escrito por componentes ao longo dos eixos x,y,z. Escrevemos o vetor deslocamento como combinação linear dos vetores unitários: \hat{\mathbf{i}},\\ \hat{\mathbf{j}},\\ \hat{\mathbf{k}}onde \hat{\mathbf{i}} é o vetor unitário na direção positiva de x, \hat{\mathbf{j}} na direção positiva de y e \hat{\mathbf{k}} na direção positiva de z.
  • Se um deslocamento tem componentes x, y, z, escrevemos \vec{r}=x\,\hat{\mathbf{i}}+y\,\hat{\mathbf{j}}+z\,\hat{\mathbf{k}}.Cada número é a projeção do deslocamento nesse eixo (quanto se moveu em cada direção).
  • Para achar o módulo (comprimento) de \vec{r} usamos o teorema de Pitágoras em 3D: \lVert \vec{r}\rVert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 3

Determinar a orientação do segundo trecho após a curva de 90^\circ:
  • Inicialmente ele caminha no sentido negativo de x (isto é, no sentido -\hat{\mathbf{i}}).
  • Se alguém caminha no sentido negativo de x e faz uma curva de 90^\circ à esquerda, passa a caminhar no sentido negativo de y (imagine-se de frente para o eixo -x: a sua esquerda é a direção -y). Portanto o segundo trecho é ao longo de -\hat{\mathbf{j}}.

Passo 4

Escrever cada trecho como vetor (pegando os dados do enunciado):
  • Primeiro trecho: 40\\ \text{m} no sentido negativo de x → vetor \vec{r}_1 = -40\,\hat{\mathbf{i}}.
  • Segundo trecho: 20\\ \text{m} no sentido negativo de y → vetor \vec{r}_2 = -20\,\hat{\mathbf{j}}.
  • Terceiro trecho: subida 25\\ \text{m} para cima (positivo em z) → vetor \vec{r}_3 = +25\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 5

Somar os vetores para obter o deslocamento total do início até o topo da torre (parte (a)):
  • Soma componente a componente: \vec{R}=\vec{r}_1+\vec{r}_2+\vec{r}_3 = (-40)\,\hat{\mathbf{i}}+(-20)\,\hat{\mathbf{j}}+25\,\hat{\mathbf{k}}.
  • Escrevendo de forma limpa: \vec{R} = -40\,\hat{\mathbf{i}} -20\,\hat{\mathbf{j}} +25\,\hat{\mathbf{k}}.Isso responde a parte (a): é o vetor deslocamento da origem até o topo da torre.

Passo 6

Explicação de como será o deslocamento quando a placa cai até a base da torre (entendimento do problema da parte (b)):
  • Ao cair, a placa vai para a base da torre; isso significa que o ponto final agora tem as mesmas coordenadas horizontais do topo da torre (mesmo x e y) mas z=0 (chão).
  • Portanto o deslocamento do início até esse novo fim é o vetor com componentes x=-40, y=-20, z=0.

Passo 7

Calcular o módulo do deslocamento da origem até a base da torre (parte (b)):
  • Aplicando a fórmula do módulo: \lVert \vec{R}_{\text{base}}\rVert = \sqrt{(-40)^{2}+(-20)^{2}+0^{2}}.
  • Calcular os quadrados: (-40)^{2}=1600,\qquad (-20)^{2}=400.
  • Somando: 1600+400=2000.
  • Portanto \lVert \vec{R}_{\text{base}}\rVert=\sqrt{2000}.
  • Simplificando a raiz: \sqrt{2000}=\sqrt{400\cdot 5}=20\sqrt{5}\approx 44{,}72\\ \text{m}.

Resposta

(a) \vec{R}=-40\,\hat{\mathbf{i}}-20\,\hat{\mathbf{j}}+25\,\hat{\mathbf{k}}
(b) 20\sqrt{5}\\ \text{m}\\ \approx 44{,}72\\ \text{m}

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