O vetor vec{A} tem um módulo de 12,0 \mathrm{~m} e faz um ângulo de 60,0^{\circ} no sentido anti-horário com o semieixo x positivo de um sistema de coordenadas x y. O vetor vec{B} é dado por (12,0 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{i}}+(8,00 \mathrm{~m}) \hat{\mathrm{j}} no mesmo sistema de coordenadas. O sistema de coordenadas sofre uma rotação de 20,0^{\circ} no sentido anti-horário em torno da origem para formar um sistema x^{\prime} y^{\prime}. Determine os vetores
vec{B} na notação dos vetores unitários do novo sistema.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas estas informações vêm do enunciado):
  • O vetor \vec{B} no sistema original xy é \vec{B}=(12,0\\ \mathrm{m})\hat{\imath}+(8,00\\ \mathrm{m})\hat{\jmath}. Ou seja, as componentes no sistema original são B_x=12,0\\ \mathrm{m} e B_y=8,00\\ \mathrm{m}.
  • O sistema de coordenadas é girado em \,20,0^\circ no sentido anti-horário em torno da origem, formando o sistema x'y'.
  • A pergunta pede as componentes de \vec{B} escritas na notação dos vetores unitários do novo sistema, isto é, encontrar os coeficientes B_{x'} e B_{y'} tais que \vec{B}=B_{x'}\hat{\imath}'+B_{y'}\hat{\jmath}'.

Passo 2

Entendendo o que acontece quando giramos o sistema de coordenadas: os vetores geométricos (como \vec{B}) permanecem fixos no espaço, mas os vetores unitários do sistema mudam de direção. Se o sistema é girado no sentido anti-horário por um ângulo \theta, os novos versores unitários \hat{\imath}' e \hat{\jmath}' são as rotinas dos antigos:
\hat{\imath}'=\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath}, \qquad \hat{\jmath}'=-\sin\theta\,\hat{\imath}+\cos\theta\,\hat{\jmath}.
Explicação curta do porquê: \hat{\imath}' é o vetor de comprimento 1 obtido ao rodar \hat{\imath} por \theta; projetando \hat{\imath}' sobre \hat{\imath} e \hat{\jmath} aparece \cos\theta e \sin\theta, respectivamente. O mesmo raciocínio dá \hat{\jmath}'.

Passo 3

Queremos as componentes B_{x'} e B_{y'}. Use que B_{x'}=\vec{B}\cdot\hat{\imath}' e B_{y'}=\vec{B}\cdot\hat{\jmath}'. Substituindo \hat{\imath}' e \hat{\jmath}' em termos de \hat{\imath},\hat{\jmath} obtemos, usando B_x e B_y (componentes no sistema original):
B_{x'}=B_x\cos\theta+B_y\sin\theta,
B_{y'}=-B_x\sin\theta+B_y\cos\theta.
Comentário intuitivo: girar os eixos no sentido anti-horário por \theta equivale a girar as componentes do vetor no sentido horário por \theta, o que aparece nas fórmulas acima (observe os sinais).

Passo 4

Agora aplicamos com os números do enunciado: B_x=12,0\\ \mathrm{m}, B_y=8,00\\ \mathrm{m} e \theta=20,0^\circ.
Primeiro calcule \cos20,0^\circ e \sin20,0^\circ (valores numéricos aproximados):
\cos20,0^\circ\approx 0,93969262,\qquad \sin20,0^\circ\approx 0,34202014.
Agora calcule B_{x'}:
B_{x'}=12,0\cdot 0,93969262 + 8,00\cdot 0,34202014.
Fazendo as multiplicações:
12,0\cdot 0,93969262 \approx 11,2763114,
8,00\cdot 0,34202014 \approx 2,73616112.
Somando:
B_{x'}\approx 11,2763114 + 2,73616112 = 14,01247252\\ \mathrm{m}.
Agora calcule B_{y'}:
B_{y'}=-12,0\cdot 0,34202014 + 8,00\cdot 0,93969262.
Multiplicações:
-12,0\cdot 0,34202014 \approx -4,10424168,
8,00\cdot 0,93969262 \approx 7,51754096.
Somando:
B_{y'}\approx -4,10424168 + 7,51754096 = 3,41329928\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Arredondando os resultados de forma razoável (duas casas decimais, condizente com os dados do enunciado):
B_{x'}\approx 14,01\\ \mathrm{m},\qquad B_{y'}\approx 3,41\\ \mathrm{m}.
Esses são os coeficientes que expressam \vec{B} na base primada \{\hat{\imath}',\hat{\jmath}'\}. Força aí — você já sabe como fazer isso em qualquer ângulo agora!

Resposta

\vec{B}=(14,01\\ \mathrm{m})\hat{\imath}'+(3,41\\ \mathrm{m})\hat{\jmath}'

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