O vetor
tem um módulo de
e faz um ângulo de
no sentido anti-horário com o semieixo
positivo de um sistema de coordenadas
. O vetor
é dado por
no mesmo sistema de coordenadas. O sistema de coordenadas sofre uma rotação de
no sentido anti-horário em torno da origem para formar um sistema
. Determine os vetores
na notação dos vetores unitários do novo sistema.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas estas informações vêm do enunciado):
- O vetor
no sistema original é . Ou seja, as componentes no sistema original são e . - O sistema de coordenadas é girado em
no sentido anti-horário em torno da origem, formando o sistema . - A pergunta pede as componentes de
escritas na notação dos vetores unitários do novo sistema, isto é, encontrar os coeficientes e tais que .
Passo 2
Entendendo o que acontece quando giramos o sistema de coordenadas: os vetores geométricos (como
) permanecem fixos no espaço, mas os vetores unitários do sistema mudam de direção. Se o sistema é girado no sentido anti-horário por um ângulo
, os novos versores unitários
e
são as rotinas dos antigos:
Explicação curta do porquê:
é o vetor de comprimento 1 obtido ao rodar
por
; projetando
sobre
e
aparece
e
, respectivamente. O mesmo raciocínio dá
.
Passo 3
Queremos as componentes
e
. Use que
e
. Substituindo
e
em termos de
obtemos, usando
e
(componentes no sistema original):
Comentário intuitivo: girar os eixos no sentido anti-horário por
equivale a girar as componentes do vetor no sentido horário por
, o que aparece nas fórmulas acima (observe os sinais).
Passo 4
Agora aplicamos com os números do enunciado:
,
e
.
Primeiro calcule e
(valores numéricos aproximados):
Primeiro calcule
Agora calcule
:
Fazendo as multiplicações:
Somando:
Agora calcule
:
Multiplicações:
Somando:
Passo 5
Arredondando os resultados de forma razoável (duas casas decimais, condizente com os dados do enunciado):
Esses são os coeficientes que expressam
na base primada
. Força aí — você já sabe como fazer isso em qualquer ângulo agora!