Determine, na notação dos vetores unitários,
\vec{r}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c} para \vec{a}=5,0 \hat{\mathrm{i}}+4,0 \hat{\mathrm{j}}-6,0 \hat{\mathrm{k}}, \vec{b}=-2,0 \hat{\mathrm{i}}+ 2,0 \hat{\mathrm{j}}+3,0 \hat{\mathrm{k}} e \vec{c}=4,0 \hat{\mathrm{i}}+3,0 \hat{\mathrm{j}}+2,0 \hat{\mathrm{k}}.
Determine, na notação dos vetores unitários,
\vec{r}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c} para \vec{a}=5,0 \hat{\mathrm{i}}+4,0 \hat{\mathrm{j}}-6,0 \hat{\mathrm{k}}, \vec{b}=-2,0 \hat{\mathrm{i}}+ 2,0 \hat{\mathrm{j}}+3,0 \hat{\mathrm{k}} e \vec{c}=4,0 \hat{\mathrm{i}}+3,0 \hat{\mathrm{j}}+2,0 \hat{\mathrm{k}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular o vetor \vec{r}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c} na notação dos vetores unitários.
  • Dados (peguei os valores do enunciado):
    • \vec{a}=5,0\\ \hat{\mathrm{i}}+4,0\\ \hat{\mathrm{j}}-6,0\\ \hat{\mathrm{k}}.
    • \vec{b}=-2,0\\ \hat{\mathrm{i}}+2,0\\ \hat{\mathrm{j}}+3,0\\ \hat{\mathrm{k}}.
    • \vec{c}=4,0\\ \hat{\mathrm{i}}+3,0\\ \hat{\mathrm{j}}+2,0\\ \hat{\mathrm{k}}.

Passo 2

Relembre (rápido e prático) como somar e subtrair vetores na forma de componentes.
  • Se um vetor é escrito como \vec{u}=u_x\\ \hat{\mathrm{i}}+u_y\\ \hat{\mathrm{j}}+u_z\\ \hat{\mathrm{k}} e outro como \vec{v}=v_x\\ \hat{\mathrm{i}}+v_y\\ \hat{\mathrm{j}}+v_z\\ \hat{\mathrm{k}}, então a soma é feita componente a componente:
\vec{u}+\vec{v}=(u_x+v_x)\\ \hat{\mathrm{i}}+(u_y+v_y)\\ \hat{\mathrm{j}}+(u_z+v_z)\\ \hat{\mathrm{k}}.
  • Subtração também é componente a componente:
\vec{u}-\vec{v}=(u_x-v_x)\\ \hat{\mathrm{i}}+(u_y-v_y)\\ \hat{\mathrm{j}}+(u_z-v_z)\\ \hat{\mathrm{k}}.
  • As direções \hat{\mathrm{i}},\hat{\mathrm{j}},\hat{\mathrm{k}} são os vetores unitários das direções x,y,z; cada componente numérica corresponde à projeção nessa direção.

Passo 3

Calcular a componente \hat{\mathrm{i}} (componente x) de \vec{r}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}.
  • Pegando as componentes x dos vetores dados: a_x=5,0, b_x=-2,0, c_x=4,0.
  • Faça a operação a_x-b_x+c_x. Atenção: b_x é negativo, então subtrair b_x vira somar o módulo:
a_x-b_x+c_x = 5,0 - (-2,0) + 4,0.
  • Calcule passo a passo:
5,0 - (-2,0)=5,0+2,0=7,0,
7,0+4,0=11,0.
  • Portanto a componente em \hat{\mathrm{i}} é 11,0.

Passo 4

Calcular a componente \hat{\mathrm{j}} (componente y) de \vec{r}.
  • Componentes y: a_y=4,0, b_y=2,0, c_y=3,0.
  • Operação:
a_y-b_y+c_y = 4,0 - 2,0 + 3,0.
  • Calcule:
4,0-2,0=2,0,
2,0+3,0=5,0.
  • Portanto a componente em \hat{\mathrm{j}} é 5,0.

Passo 5

Calcular a componente \hat{\mathrm{k}} (componente z) de \vec{r}.
  • Componentes z: a_z=-6,0, b_z=3,0, c_z=2,0.
  • Operação:
a_z-b_z+c_z = -6,0 - 3,0 + 2,0.
  • Calcule:
-6,0-3,0=-9,0,
-9,0+2,0=-7,0.
  • Portanto a componente em \hat{\mathrm{k}} é -7,0.

Passo 6

Juntar as componentes calculadas para escrever \vec{r} na notação dos vetores unitários.
  • Temos r_x=11,0, r_y=5,0, r_z=-7,0.
  • Então
\vec{r}=11,0\\ \hat{\mathrm{i}}+5,0\\ \hat{\mathrm{j}}-7,0\\ \hat{\mathrm{k}}.

Resposta

\vec{r}=11,0\\ \hat{\mathrm{i}}+5,0\\ \hat{\mathrm{j}}-7,0\\ \hat{\mathrm{k}}

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