62 SSM María y Roberto deciden encontrarse en el lago Michigan. María parte en su lancha de Petoskey a las 9:00 a.m. y viaja hacia el norte a 8 mi / h. Roberto sale de su casa sobre la costa de Beaver Island, situada a 26 mi y 30^circ al oeste del norte de Petoskey a las 10:00 a.m. y viaja a una velocidad constante de 6 mi / h. ¿En qué dirección debe poner su-rumbo Roberto para interceptar a María y dónde y cuándo se verificará el encuentro?

Passo 1

Resumo do problema: Maria parte de Petoskey às 9 h, navegando para o norte a 8,mi/h. Roberto sai às 10 h de um ponto em Beaver Island que está a 26 mi de Petoskey, na direção 30^circ a oeste do norte, viajando a 6,mi/h. Queremos achar o rumo (direção) de Roberto para que ele intercepte Maria, além do local e do horário do encontro. O conteúdo usado será modelagem em coordenadas cartesianas e solução de um sistema de equações paramétricas.

Passo 2

Escolhemos sistema de eixos: origem em Petoskey, eixo y apontando para o norte e eixo x para o leste.
Coordenadas de Roberto ao partir ( t=1 hora, medido desde as 9 h):
(x0,y0)=l(-26sin30^circ,;26cos30^circr)=(-13,;13raiz3)
Para t horas após as 9 h, Maria está em
M(t)=(0,;8t)
Roberto viaja, a partir de t=1, com rumo que forma ângulo theta em relação ao eixo x, portanto
R(t)=l(-13+6,(t-1)costheta,;13raiz3+6,(t-1)sinthetar), t>=1
No encontro R(T)=M(T), gerando o sistema
6(T-1)costheta=13, 6(T-1)sintheta=8T-13raiz3

Passo 3

Isolando costheta e sintheta e usando cos^2theta+sin^2theta=1, obtemos a equação em T:
13^2+(8T-13raiz3)^236(T-1)^2=1 ;Longrightarrow; 28,T^2+(72-208raiz3),T+640=0
Numericamente, as raízes são
Tapprox3,24e Tapprox7,06
O valor relevante é o menor, Tapprox3,24 h após as 9 h (pois Roberto sai só às 10 h).

Passo 4

No encontro com Tapprox3,243, a posição comum é
M(T)=(0,;8T)approx(0,;25,95) mi
O vetor deslocamento de Roberto é
De<a x=0-(-13)=13, De<a y=25,95-13raiz3approx3,43
O rumo, medido a partir do norte em direção ao leste, satisfaz
alpha=arctan!l(tfracDe<a xDe<a yr) =arctan!l(tfrac133,43r)approx75^circ
Logo, Roberto deve seguir na direção N 75^circE (ou E14,7^circN).

Passo 5

O horário de encontro é
9:00 + Tapprox9:00 + 3,243 happrox12:14 (aprox)
O local fica cerca de 25,95 mi ao norte de Petoskey, sobre o lago.

Resposta

Rumo: N 75^circE.
Hora do encontro: aproximadamente 12: 14 p.m.
Local do encontro: cerca de 25,95 mi a norte de Petoskey (coordenadas (0,25,95)).

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