63 *e Un avión vuela a la velocidad de 250 km / h respecto al aire en reposo. Un viento sopla a 80 km / h en dirección noreste (es decir, en dirección 45^circ al este del norte). (a) ¿En qué dirección debe volar el avión para que su rumbo sea norte? (b) ¿Cuál es la velocidad del avión respecto al suelo?

Passo 1

O enunciado diz que o avião tem velocidade relativa ao ar de 250,km/h e que o vento sopra a 80,km/h na direção nordeste (isto é, 45^circ a leste do norte). Queremos que a velocidade resultante do avião sobre o solo fique perfeitamente para norte. Vamos usar vetores de velocidade:
vg = vp + vw,
em que vp é a velocidade do avião relativa ao ar (módulo 250,km/h e direção a determinar) e vw é a velocidade do vento (módulo 80,km/h e direção 45^circ a leste do norte).

Passo 2

Adotamos eixos cartesianas com y positivo apontando para norte e x positivo para leste. As componentes do vento são
vw,x = 80sin45^circ, vw,y = 80cos45^circ
Como sin45^circ=cos45^circ=tfracraiz22, obtemos
vw,x = 40raiz2, vw,y = 40raiz2

Passo 3

Seja alpha o ângulo do rumo do avião medido a leste do norte (positivo para o leste). As componentes da velocidade do avião relativa ao ar são
vp,x = 250sinalpha, vp,y = 250cosalpha
Para que o rumo sobre o solo seja norte, a componente leste do vetor resultante deve ser zero:
vg,x = vp,x + vw,x = 0 ;Longrightarrow; 250sinalpha + 40raiz2 = 0

Passo 4

Resolvendo para alpha,
sinalpha = -40raiz2250approx -0,2263 Longrightarrow alpha approx -13,08^circ
O sinal negativo indica que o avião deve apontar para oeste do norte, ou seja, 13,1^circ a oeste do norte.

Passo 5

A velocidade resultante sobre o solo será a componente norte:
vg,y = vp,y + vw,y = 250cosalpha + 40raiz2
Como cosalphaapprox0,9741,
vg,y approx 250cdot0,9741 + 40raiz2 approx 243,5 + 56,6 approx 300,1 km/h

Resposta

(a) O avião deve voar com rumo a 13,1^circ a oeste do norte.
(b) A velocidade do avião em relação ao solo será de aproximadamente 300,1 km/h para o norte.

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