62.Calcule \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{6-x}}{\sqrt{3-x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{6-x}}{\sqrt{3-x}}.
O conteúdo aqui é limitação de funções envolvendo radicais. Vamos usar o fato de que, dentro do domínio em que a função está definida, ela é contínua, de modo que o limite pode ser obtido por substituição direta.

Passo 2

Precisamos verificar o domínio de
f(x)=\frac{\sqrt{6-x}}{\sqrt{3-x}}.
Os radicais exigem 6-x\ge0 e 3-x>0, ou seja, x\le6 e x<3. Logo, a função está bem definida num intervalo que contém x=2, pois 2<3.

Passo 3

Como x=2 é ponto interior ao domínio e não gera divisão por zero ou radicais de número negativo, pela continuidade de f temos
\lim_{x\to2}f(x)=f(2)=\frac{\sqrt{6-2}}{\sqrt{3-2}}.

Passo 4

Basta calcular os radicais em x=2:
\sqrt{6-2}=\sqrt{4}=2, \quad \sqrt{3-2}=\sqrt{1}=1,
portanto
f(2)=\frac{2}{1}=2.

Resposta

2

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