Se f(x)=\begin{cases}x^{2} & \text{se } x<1 \\\ \sqrt{x} & \text{se } x>1\end{cases}, demonstre que \lim _{x \rightarrow 1} f(x) não existe.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} x^{2},&\text{se }x<1,\\\ \sqrt{x},&\text{se }x>1 \end{cases}
e pede para “demonstrar que \lim_{x\to1}f(x) não existe”. Para verificar se um limite em x=1 existe, a gente calcula os limites laterais \lim_{x\to1^-}f(x) e \lim_{x\to1^+}f(x) e compara.

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda. Como para x<1 vale f(x)=x^2, temos
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}x^2 =1^2 =1.

Passo 3

Calcular o limite pela direita. Como para x>1 vale f(x)=\sqrt{x}, temos
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}\sqrt{x} =\sqrt{1} =1.

Passo 4

Comparando os dois resultados:
\lim_{x\to1^-}f(x)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=1.
Como as duas são iguais, concluímos que o limite \lim_{x\to1}f(x) existe e vale esse mesmo valor comum.

Resposta

Contrariamente ao que o enunciado sugere, o limite \lim_{x\to1}f(x) existe e é igual a 1.

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