Exercício 5 Calcule a transformada de Fourier da função f(x)=x e^{-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx
da função f(x)=x\,e^{-x^2}. Vamos usar a propriedade de derivada em frequência, que relaciona a transformada de x\,g(x) com a derivada de \mathcal{F}\{g\}.

Passo 2

Primeiro, recordemos a transformada da gaussiana g(x)=e^{-x^2}. Sabe-se que
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,e^{-i\omega x}\,dx=\sqrt{\pi}\,e^{-\omega^2/4}.

Passo 3

Usando a propriedade
\frac{d}{d\omega}\Bigl[e^{-i\omega x}\Bigr]=-i\,x\,e^{-i\omega x},
vemos que
\int_{-\infty}^{\infty}x\,e^{-x^2}\,e^{-i\omega x}\,dx = i\,\frac{d}{d\omega}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,e^{-i\omega x}\,dx.

Passo 4

Aplicando a derivada ao resultado da gaussiana, obtemos
\mathcal{F}\{x\,e^{-x^2}\}(\omega) = i\,\frac{d}{d\omega}\Bigl[\sqrt{\pi}\,e^{-\omega^2/4}\Bigr] = i\,\sqrt{\pi}\,\bigl(-\tfrac{\omega}{2}\bigr)\,e^{-\omega^2/4} =-\,i\,\frac{\sqrt{\pi}\,\omega}{2}\,e^{-\omega^2/4}.

Resposta

\mathcal{F}\{x\,e^{-x^2}\}(\omega) =-\,i\,\frac{\sqrt{\pi}\,\omega}{2}\,e^{-\omega^2/4}.

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