( 2,5 pontos) Considere o problema de Sturm-Liouville
(a) Determine os autovalores e autofunções com condições de contorno homogêneas do tipo
e
.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autofunções do problema de Sturm–Liouville
com condições homogêneas de Dirichlet
e
. Vamos usar a teoria de equações lineares de segunda ordem, examinando separadamente os casos
,
e
.
Passo 2
Caso
: escreva
,
. A solução geral é
De
vem
, ou seja
. Então
leva a
(pois
), só restando a solução trivial.
Caso : a equação reduz-se a
com solução
. As condições
e
dão
, também só a solução trivial.
Caso
Passo 3
Caso
: defina
. A solução geral é
Impondo
obtém-se
, de modo que
Passo 4
Aplicando
dá
Para
precisamos
, isto é
Logo os autovalores e autofunções são