( 2,5 pontos) Considere o problema de Sturm-Liouville
y^{\prime \prime}+\lambda y=0, \quad 0<x<L
(a) Determine os autovalores e autofunções com condições de contorno homogêneas do tipo y(0)=0 e y(L)=0.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autofunções do problema de Sturm–Liouville
y'' + \lambda y = 0,\quad 0<x<L,
com condições homogêneas de Dirichlet y(0)=0 e y(L)=0. Vamos usar a teoria de equações lineares de segunda ordem, examinando separadamente os casos \lambda<0, \lambda=0 e \lambda>0.

Passo 2

Caso \lambda<0: escreva \lambda=-\mu^2, \mu>0. A solução geral é
y(x)=A\,e^{\mu x}+B\,e^{-\mu x}.
De y(0)=0 vem A+B=0, ou seja y(x)=C\operatorname{sinh}(\mu x). Então y(L)=C\operatorname{sinh}(\mu L)=0 leva a C=0 (pois \operatorname{sinh}(\mu L)\neq0), só restando a solução trivial.
Caso \lambda=0: a equação reduz-se a y''=0 com solução y(x)=Ax+B. As condições y(0)=0 e y(L)=0 dão A=B=0, também só a solução trivial.

Passo 3

Caso \lambda>0: defina k=\sqrt{\lambda}. A solução geral é
y(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).
Impondo y(0)=0 obtém-se A=0, de modo que
y(x)=B\sin(kx).

Passo 4

Aplicando y(L)=0
B\sin(kL)=0.
Para B\neq0 precisamos \sin(kL)=0, isto é
kL = n\pi,\quad n=1,2,\dots \quad\Longrightarrow\quad k_n = \frac{n\pi}{L}.
Logo os autovalores e autofunções são
\lambda_n = k_n^2 = \Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\Bigr)^2, \qquad y_n(x)=\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr), \quad n=1,2,\dots

Resposta

\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2, \quad y_n(x) = \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr), \quad n=1,2,\dots

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