Exercício 5. Considerando a condução de calor em uma barra de comprimento
x=L, é possível mostrar, utilizando a 1a Lei da Termodinâmica, Lei de Fourier e outros conceitos, que a Temperatura nessa barra satisfaz a equação diferencial
\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^{2} T}{\partial x},
em que
\alpha é a constante de difusão térmica, com Condições de Contorno dadas por
T(0, t)=0, \quad T(L, t)=0, \quad T(x, 0)=f(x) .
Esta EDP é denominada Equação do Calor.
(a) Supondo
T(x, t)=M(x) N(t), mostre que a Equação do Calor equivale a
\frac{1}{\alpha N} \frac{d N}{d T}=\frac{1}{M} \frac{d^{2} M}{d x^{2}}=k ;
(b) Mostre que se
k=0 ou
k>0, a única solução para a EDO em
M é a nula;
(c) Mostre que, se
k<0, a solução geral é da forma
T(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) e^{-\alpha \lambda_{n}^{2} t}
em que
\lambda_{n}=\frac{n \pi}{L}, \quad \text { e } \quad a_{n}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x