63.127 Candidatos compareceram a uma prova de vestibular (25 questões de múltipla escolha com 5 alternativas por questão), combinaram a afirmação: pelo menos dois candidatos responderam do modo idêntico as
primeiras questões da prova. Qual é o maior valor de
para a qual podemos garantir que a afirmação acima é verdadeira?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos 63.127 candidatos que fizeram uma prova com 25 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas. A questão quer saber qual é o maior valor de $ k $ (o número de primeiras questões analisadas) para garantir que pelo menos dois candidatos responderam exatamente da mesma forma nessas $ k $ primeiras questões.
Matéria envolvida: Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio de Dirichlet) e combinações básicas.
Vamos precisar entender como calcular o número de combinações possíveis de respostas nas primeiras $ k $ questões e comparar com o número de candidatos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Princípio da Casa dos Pombos. Esse princípio diz que se você tem mais objetos do que “caixas” para colocá-los, pelo menos uma caixa vai ter mais de um objeto.
No nosso caso:
- Objetos: Candidatos (63.127)
- Caixas: Combinações possíveis de respostas nas primeiras $ k $ questões.
Para garantir que pelo menos dois candidatos tenham as mesmas respostas nas primeiras $ k $ questões, o número de candidatos deve ser maior que o número de combinações possíveis de respostas.
Passo 3
Agora, vamos calcular quantas combinações possíveis existem para as primeiras $ k $ questões. Como cada questão tem 5 alternativas, o número de combinações é $ 5^k $.
Queremos encontrar o maior $ k $ tal que $ 5^k < 63.127 $.
Vamos calcular:
- $ 5^1 = 5 $
- $ 5^2 = 25 $
- $ 5^3 = 125 $
- $ 5^4 = 625 $
- $ 5^5 = 3.125 $
- $ 5^6 = 15.625 $
- $ 5^7 = 78.125 $
Passo 4
Observando os cálculos:
- Para $ k = 6 $: $ 5^6 = 15.625 $ combinações.
- Para $ k = 7 $: $ 5^7 = 78.125 $ combinações.
Como temos 63.127 candidatos:
- $ 15.625 < 63.127 $: Isso significa que, com $ k = 6 $, o número de combinações é menor que o número de candidatos. Portanto, pelo Princípio da Casa dos Pombos, pelo menos dois candidatos terão as mesmas respostas nas primeiras 6 questões.
- $ 78.125 > 63.127 $: Com $ k = 7 $, o número de combinações é maior que o número de candidatos, o que não garante que haja pelo menos dois candidatos com as mesmas respostas nas primeiras 7 questões.
Resposta
O maior valor de $ K $ que garante que pelo menos dois candidatos responderam da mesma forma nas primeiras $ K $ questões é 6.