(2,0 pontos) Uma variável aleatória contínua X segue uma distribuição uniforme no intervalo [2,6], ou seja, X sim U(2,6).
a) Determine a função densidade de probabilidade f d p de X.
b) Calcule P(3 <= X <= 5).
c) Encontre E(X).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre distribuição uniforme. A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo X , ou seja, $ X \sim U(2, 6) $. Precisamos:
a) Determinar a função densidade de probabilidade $ f_{dp} $ de $ X $.
b) Calcular $ P(3 \leq X \leq 5) $.
c) Encontrar $ E(X) $, que é a esperança matemática de $ X $.
Pra isso, vamos precisar entender o que é distribuição uniforme, como achar a função densidade, calcular probabilidades e a esperança matemática.

Passo 2

Parte a: Determinar a função densidade de probabilidade $ f_{dp} $ de $ X $.
Primeiro, vamos falar sobre distribuição uniforme contínua. Quando uma variável $ X $ é uniforme no intervalo fdp , isso significa que todas as partes desse intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer. A função densidade de probabilidade $ f_{dp}(x) $ para uma distribuição uniforme é dada por:
X á
No nosso caso, $ a = 2 $ e $ b = 6 $. Então, substituindo na fórmula:
X á

Passo 3

Parte b: Calcular $ P(3 \leq X \leq 5) $.
Agora, para encontrar a probabilidade de $ X $ estar entre 3 e 5, usamos a função densidade de probabilidade que encontramos na parte a. Em distribuições contínuas, a probabilidade de $ X $ estar entre dois valores é a área sob a curva da função densidade nesse intervalo.
Como $ f_{dp}(x) = \frac{1}{4} $ para $ 2 \leq x \leq 6 $, a probabilidade é:
P(3 <= X <= 5)
Integrando:
X
Então, $ P(3 \leq X \leq 5) = \frac{1}{2} $ ou 50%.

Passo 4

Parte c: Encontrar $ E(X) $.
A esperança matemática $ E(X) $ de uma variável uniforme contínua no intervalo E(X) é a média dos extremos do intervalo. A fórmula é:
E(X)
Substituindo $ a = 2 $ e $ b = 6 $:
[a, b]

Resposta

a) A função densidade de probabilidade é:
fdp(x) = 14, & 2 <= x <= 6 0, & caso contrário á
b) $ P(3 \leq X \leq 5) = \frac{1}{2} $ ou 50%.
c) $ E(X) = 4 $.

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