(2,0 pontos) Uma variável aleatória contínua
segue uma distribuição uniforme no intervalo [2,6], ou seja,
.
a) Determine a função densidade de probabilidade
de
.
b) Calcule
.
c) Encontre
.
a) Determine a função densidade de probabilidade
b) Calcule
c) Encontre
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre distribuição uniforme. A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo
, ou seja, $ X \sim U(2, 6) $. Precisamos:
a) Determinar a função densidade de probabilidade $ f_{dp} $ de $ X $.
b) Calcular $ P(3 \leq X \leq 5) $.
c) Encontrar $ E(X) $, que é a esperança matemática de $ X $.
Pra isso, vamos precisar entender o que é distribuição uniforme, como achar a função densidade, calcular probabilidades e a esperança matemática.
Passo 2
Parte a: Determinar a função densidade de probabilidade $ f_{dp} $ de $ X $.
Primeiro, vamos falar sobre distribuição uniforme contínua. Quando uma variável $ X $ é uniforme no intervalo
, isso significa que todas as partes desse intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer. A função densidade de probabilidade $ f_{dp}(x) $ para uma distribuição uniforme é dada por:
No nosso caso, $ a = 2 $ e $ b = 6 $. Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Parte b: Calcular $ P(3 \leq X \leq 5) $.
Agora, para encontrar a probabilidade de $ X $ estar entre 3 e 5, usamos a função densidade de probabilidade que encontramos na parte a. Em distribuições contínuas, a probabilidade de $ X $ estar entre dois valores é a área sob a curva da função densidade nesse intervalo.
Como $ f_{dp}(x) = \frac{1}{4} $ para $ 2 \leq x \leq 6 $, a probabilidade é:
Integrando:
Então, $ P(3 \leq X \leq 5) = \frac{1}{2} $ ou 50%.
Passo 4
Parte c: Encontrar $ E(X) $.
A esperança matemática $ E(X) $ de uma variável uniforme contínua no intervalo
é a média dos extremos do intervalo. A fórmula é:
Substituindo $ a = 2 $ e $ b = 6 $:
Resposta
a) A função densidade de probabilidade é:
b) $ P(3 \leq X \leq 5) = \frac{1}{2} $ ou 50%.
c) $ E(X) = 4 $.