(2,0 pontos) Uma variável aleatória contínua
tem a seguinte função densidade de probabilidade (
):
Verifique se
é uma
válida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui a gente está lidando com funções densidade de probabilidade (fdp), que são usadas para descrever a distribuição de variáveis aleatórias contínuas. Nosso objetivo é verificar se a função dada, $ f(x) $, é uma fdp válida. Para isso, precisamos checar duas coisas:
- Se a função é sempre maior ou igual a zero.
- Se a integral da função em todo o seu domínio é igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se $ f(x) $ é sempre maior ou igual a zero. A função dada é:
Para $ 0 \leq x \leq 1 $, $ 2x $ é positivo porque $ x $ está entre 0 e 1. Fora desse intervalo, $ f(x) = 0 $, que também é válido. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a integral de $ f(x) $ de
a
é igual a 1. Como $ f(x) $ é zero fora de $ 0 \leq x \leq 1 $, podemos calcular a integral apenas nesse intervalo:
Vamos resolver essa integral.
Passo 4
Integrando $ 2x $ em relação a $ x $, temos:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Então, a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 é igual a 1.
Resposta
Como $ f(x) $ é sempre não negativa e a integral dela no seu domínio é igual a 1, $ f(x) $ é uma função densidade de probabilidade válida.