(2,0 pontos) Uma variável aleatória contínua X tem a seguinte função densidade de probabilidade ( f d p ):
f(x)=l 2 x, se 0 <= x <= 1 0, caso contrário á
Verifique se f(x) é uma f d p válida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui a gente está lidando com funções densidade de probabilidade (fdp), que são usadas para descrever a distribuição de variáveis aleatórias contínuas. Nosso objetivo é verificar se a função dada, $ f(x) $, é uma fdp válida. Para isso, precisamos checar duas coisas:
  1. Se a função é sempre maior ou igual a zero.
  2. Se a integral da função em todo o seu domínio é igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se $ f(x) $ é sempre maior ou igual a zero. A função dada é:
f(x) á
Para $ 0 \leq x \leq 1 $, $ 2x $ é positivo porque $ x $ está entre 0 e 1. Fora desse intervalo, $ f(x) = 0 $, que também é válido. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a integral de $ f(x) $ de f(x) a -infty é igual a 1. Como $ f(x) $ é zero fora de $ 0 \leq x \leq 1 $, podemos calcular a integral apenas nesse intervalo:
+infty
Vamos resolver essa integral.

Passo 4

Integrando $ 2x $ em relação a $ x $, temos:
2x
Agora, avaliamos de 0 a 1:
x
Então, a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 é igual a 1.

Resposta

Como $ f(x) $ é sempre não negativa e a integral dela no seu domínio é igual a 1, $ f(x) $ é uma função densidade de probabilidade válida.

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