A duração de um pneu de automóvel, em quilômetros rodados, apresenta distribuição normal com média 70.000 km e desvio-padrão de 10.000 km .
O fabricante deseja fixar uma garantia de quilometragem rodada, de tal forma que, se a duração de um pneu for inferior à da garantia, o pneu será trocado. De quanto deve ser essa garantia para que somente 1 % dos pneus sejam trocados? (valor 0,125 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem pneus de carro cuja duração segue uma distribuição normal com média de 70.000 km e desvio-padrão de 10.000 km. O fabricante quer definir uma garantia de quilometragem tal que, se o pneu durar menos que essa garantia, ele será trocado. Eles querem que só 1% dos pneus precisem ser trocados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e percentis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto na distribuição normal onde apenas 1% dos pneus têm duração menor que esse valor. Esse ponto é chamado de percentil. No nosso caso, queremos o 1º percentil.

Passo 3

Para achar esse valor, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística. O 1º percentil da distribuição normal padrão é aproximadamente -2,326. Isso significa que estamos 2,326 desvios-padrão abaixo da média.

Passo 4

Agora, vamos transformar esse z-score de volta para a nossa distribuição original com média de 70.000 km e desvio-padrão de 10.000 km. A fórmula para isso é:
x = mu + z times sigma
Onde:
  • $ \mu = 70.000 $ km
  • $ z = -2,326 $
  • $ \sigma = 10.000 $ km

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
x = 70.000 + (-2,326) times 10.000
x = 70.000 - 23.260
x = 46.740

Resposta

A garantia de quilometragem deve ser 46.740 km para que somente 1% dos pneus sejam trocados.

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