63-68 - Encontre o valor exato de cada expressão.
\operatorname{arctg}(-1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor exato de \operatorname{arctg}(-1). A única informação dada é o número -1 como argumento da função \operatorname{arctg}.

Passo 2

Precisamos lembrar o que significa \operatorname{arctg}. A função \operatorname{arctg}:\mathbb{R}\to\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) é a função inversa da tangente quando esta é restringida ao intervalo principal \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Ou seja, por definição:
y=\operatorname{arctg}(x)\quad\Longleftrightarrow\quad \tan y = x\\ \text{ e }\\ y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
Isso quer dizer: para achar \operatorname{arctg}(-1) devemos encontrar o único y em \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) tal que \tan y = -1.

Passo 3

Lembremos um valor trigonométrico clássico: \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1. Uma maneira simples de ver isso é usar \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e os valores
\sin\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
logo
\tan\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\tfrac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\tfrac{\pi}{4}\right)}=1.

Passo 4

A tangente é uma função ímpar, isto é, \tan(-x)=-\tan x para todo x onde está definida. Aplicando isso a x=\tfrac{\pi}{4} obtemos
\tan\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)=-\tan\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-1.

Passo 5

Agora usamos a definição da \operatorname{arctg}: buscamos o único y\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) com \tan y=-1. Vimos que \tan\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)=-1 e que -\tfrac{\pi}{4} pertence ao intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Portanto, esse y é justamente -\tfrac{\pi}{4}. (Como alternativa rápida, vale a propriedade \operatorname{arctg}(-x)=-\operatorname{arctg}(x) e \operatorname{arctg}(1)=\tfrac{\pi}{4}.)

Resposta

-\dfrac{\pi}{4}

Exercícios relacionados