63-68 - Encontre o valor exato de cada expressão.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor exato de
. A única informação dada é o número
como argumento da função
.
Passo 2
Precisamos lembrar o que significa
. A função
é a função inversa da tangente quando esta é restringida ao intervalo principal
. Ou seja, por definição:
Isso quer dizer: para achar
devemos encontrar o único
em
tal que
.
Passo 3
Lembremos um valor trigonométrico clássico:
. Uma maneira simples de ver isso é usar
e os valores
logo
Passo 4
A tangente é uma função ímpar, isto é,
para todo
onde está definida. Aplicando isso a
obtemos
Passo 5
Agora usamos a definição da
: buscamos o único
com
. Vimos que
e que
pertence ao intervalo
. Portanto, esse
é justamente
. (Como alternativa rápida, vale a propriedade
e
.)