2.63 Seja B=[rr1 & 0 26 & 27]. Encontre uma matriz A tal que A^3=B.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = 1 & 0 26 & 27
e pede uma matriz A tal que A^3=B. O conteúdo aqui é encontrar a “raiz cúbica” de uma matriz – vamos aproveitar que B é triangular inferior e procurar A também triangular, igualando entradas dos produtos.

Passo 2

Suponha que
A = a & 0 c & d
Como o produto de matrizes triangulares inferiores é triangular inferior, teremos
A^3=a^3 & 0 * & d^3
Para coincidir com B, precisamos de
a^3=1, d^3=27

Passo 3

Para determinar o termo c, calculemos
A^2 =a & 0 c & d a & 0 c & d = a^2 & 0 c,a + d,c & d^2 = a^2 & 0 c,(a+d) & d^2 ,
A^3 = A^2A = a^2 & 0 c,(a+d) & d^2 a & 0 c & d = a^3 & 0 c,(a^2+ad+d^2) & d^3
Como queremos A^3=B, igualamos também
c,(a^2+a,d+d^2)=26

Passo 4

Escolhendo raízes reais para os dígitos:
a^3=1implies a=1, d^3=27implies d=3
Então
a^2+a,d+d^2=1^2+1cdot3+3^2=1+3+9=13,
e
ccdot13=26implies c=2
Logo
A=1 & 0 2 & 3

Resposta

A = 1 & 0 2 & 3,
pois de fato
A^3 = 1 & 0 26 & 27 = B

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