2.64 Seja B=[lll1 & 8 & 5 0 & 9 & 5 0 & 0 & 4]. Encontre uma matriz triangular A com entradas diagonais positivas e tal que A^2=B.

Passo 1

O problema pede uma matriz triangular A com entradas diagonais positivas tal que
A^2 = B = 1 & 8 & 5 0 & 9 & 5 0 & 0 & 4
O conteúdo aqui é a raiz quadrada de uma matriz triangular: se A é triangular, A^2 também é triangular e seus elementos diagonais satisfazem l(A^2r)ii=Aii^2. Para as entradas acima da diagonal, usamos a fórmula de produto de matrizes.

Passo 2

Seja
A = x & y & z 0 & u & v 0 & 0 & w ,
com x,u,w>0. Vamos computar A^2 e igualar aos elementos de B.

Passo 3

O quadrado de A é
A^2 = Acdot A = x^2 & y,(x+u) & z,(x+w)+y,v 0 & u^2 & v,(u+w) 0 & 0 & w^2
Comparando com B, obtemos os seguintes sistemas:
  1. Pelas diagonais:
    x^2 = 1, u^2 = 9, w^2 = 4,
    e exigimos x,u,w>0.
  2. Pelas entradas acima da diagonal:
    y,(x+u) = 8, v,(u+w) = 5, z,(x+w)+y,v = 5

Passo 4

Resolvendo as diagonais com a condição de positividade:
x = 1, u = 3, w = 2

Passo 5

Substituindo em cada equação acima da diagonal:
  1. y,(1+3)=8
    4y = 8Longrightarrow y = 2
  2. v,(3+2)=5
    5v = 5Longrightarrow v = 1
  3. z,(1+2)+y,v = 5
    3z + 2cdot1 = 5Longrightarrow 3z = 3Longrightarrow z = 1

Resposta

A = 1 & 2 & 1 0 & 3 & 1 0 & 0 & 2 ,
verifica A^2 = B e tem entradas diagonais positivas.

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