2.65 Usando somente os elementos 0 e 1 , encontre o número de matrizes
que sejam (a) diagonais, (b) triangulares superiores, (c) invertíveis e triangulares superiores. Generalize para matrizes
.
Passo 1
O enunciado pede para contar matrizes
com entradas em
sob três condições:
- serem diagonais;
- serem triangulares superiores;
- serem triangulares superiores e invertíveis.
Para isso vamos usar a ideia de “graus de liberdade” em cada tipo de matriz, ou seja, quantos elementos podem variar livremente entre 0 e 1.
Passo 2
Para (a) uma matriz diagonal só pode ter entradas possivelmente não nulas na diagonal principal. São exatamente 3 posições livres (
), cada uma valendo 0 ou 1. Logo o número de matrizes diagonais
é
Passo 3
Para (b) uma matriz triangular superior exige que todos os elementos abaixo da diagonal sejam zero. Em um
há 3 posições abaixo da diagonal e 6 posições “em ou acima” da diagonal (3 na diagonal, 3 acima). Essas 6 entradas podem ser 0 ou 1 livremente. Logo o total de matrizes triangulares superiores é
Passo 4
Para (c) em uma matriz triangular superior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Para que a matriz seja invertível, nenhum dos três elementos diagonais pode ser zero; todos devem ser 1. Assim os 3 posições da diagonal ficam fixas em 1 e só restam livres as 3 entradas acima da diagonal. O número de matrizes triangulares superiores invertíveis é
Passo 5
Generalizando para matrizes
com entradas em
:
(a) diagonais: há elementos na diagonal, cada um em
, total
(a) diagonais: há
(b) triangulares superiores: há
posições em ou acima da diagonal, cada uma livre, total
(c) triangulares superiores invertíveis: na diagonal principal todos os
elementos devem ser 1; restam
entradas acima da diagonal livres, total
Resposta
Para
:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Para
:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)