2.65 Usando somente os elementos 0 e 1 , encontre o número de matrizes 3 times 3 que sejam (a) diagonais, (b) triangulares superiores, (c) invertíveis e triangulares superiores. Generalize para matrizes n times n.

Passo 1

O enunciado pede para contar matrizes 3times3 com entradas em 0,1 sob três condições:
  1. serem diagonais;
  2. serem triangulares superiores;
  3. serem triangulares superiores e invertíveis.
    Para isso vamos usar a ideia de “graus de liberdade” em cada tipo de matriz, ou seja, quantos elementos podem variar livremente entre 0 e 1.

Passo 2

Para (a) uma matriz diagonal só pode ter entradas possivelmente não nulas na diagonal principal. São exatamente 3 posições livres ( a11,a22,a33), cada uma valendo 0 ou 1. Logo o número de matrizes diagonais 3times3 é
2^3 = 8

Passo 3

Para (b) uma matriz triangular superior exige que todos os elementos abaixo da diagonal sejam zero. Em um 3times3 há 3 posições abaixo da diagonal e 6 posições “em ou acima” da diagonal (3 na diagonal, 3 acima). Essas 6 entradas podem ser 0 ou 1 livremente. Logo o total de matrizes triangulares superiores é
2^6 = 64

Passo 4

Para (c) em uma matriz triangular superior o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Para que a matriz seja invertível, nenhum dos três elementos diagonais pode ser zero; todos devem ser 1. Assim os 3 posições da diagonal ficam fixas em 1 e só restam livres as 3 entradas acima da diagonal. O número de matrizes triangulares superiores invertíveis é
2^3 = 8

Passo 5

Generalizando para matrizes ntimes n com entradas em 0,1:
(a) diagonais: há n elementos na diagonal, cada um em 0,1, total
2^n
(b) triangulares superiores: há tfracn(n+1)2 posições em ou acima da diagonal, cada uma livre, total
2^n(n+1)2
(c) triangulares superiores invertíveis: na diagonal principal todos os n elementos devem ser 1; restam tfracn(n-1)2 entradas acima da diagonal livres, total
2^n(n-1)2

Resposta

Para 3times3:
(a) 8
(b) 64
(c) 8
Para ntimes n:
(a) 2^n
(b) 2^n(n+1)2
(c) 2^n(n-1)2

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