Questão 2)
Fazendo mudanças de coordenadas convenientes
, transforme a equação
numa equação da forma
.
Fazendo mudanças de coordenadas convenientes
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação quadrática que você me mandou! O enunciado pede para transformar a equação
em uma forma mais simples usando uma mudança de coordenadas. Aqui, a gente vai usar mudança de coordenadas por rotação para eliminar o termo cruzado
. Isso facilita bastante na hora de identificar o tipo de cônica que a equação representa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da segunda ordem:
No nosso caso:
Passo 3
Para eliminar o termo
, a gente precisa girar o sistema de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação
que faz isso é:
Substituindo os valores:
Agora, vamos achar
:
Então:
Convertendo para radianos (já que é mais usual em cálculos):
Passo 4
Com o ângulo [\theta) encontrado, vamos definir as novas coordenadas
e
da seguinte forma:
Essas novas coordenadas vão transformar a nossa equação original sem o termo e
nas fórmulas:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na equação original e simplificar:
Após expandir e simplificar (o que envolve bastante álgebra), o termo cruzado
vai desaparecer. O resultado vai ficar na forma:
onde
,
e
são coeficientes resultantes da substituição e simplificação.
Resposta
Após realizar a mudança de coordenadas por rotação, a equação transformada fica:
onde
,
e
são os novos coeficientes obtidos após a substituição e simplificação dos termos.