Seja A=[ll5 & 2 0 & k]. Encontre todos números k tais que A seja uma raiz do polinômio
g(x)=x^2-25;

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 5 & 20 & k
e o polinômio
g(x)=x^2-25
Para que A seja raiz de g, precisamos de
g(A)=A^2-25I=0,
ou seja, a matriz A^2 deve igualar 25I.

Passo 2

Vamos calcular A^2 usando multiplicação de matrizes:
A^2 = 5 & 20 & k 5 & 20 & k = 5cdot5 + 2cdot0 & 5cdot2 + 2cdot k 0cdot5 + kcdot0 & 0cdot2 + kcdot k = 25 & 10+2k 0 & k^2

Passo 3

Agora formamos
g(A)=A^2 - 25I = 25 & 10+2k 0 & k^2 - 25 & 0 0 & 25 = 0 & 10+2k 0 & k^2-25
Para ser a matriz nula, cada entrada deve ser zero, gerando o sistema
10 + 2k = 0, k^2 - 25 = 0

Passo 4

Resolvendo 10+2k=0 vem
k = -5
Resolvendo k^2-25=0 vem
k = 5 ou k = -5
A única solução comum é k=-5.

Resposta

k = -5

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