67 Un concurso de aeromodelismo tiene las siguientes normas: Cada avión debe volar hasta un punto situado a 1 km de la salida y regresar de nuevo. El vencedor será el avión que realice el circuito completo en el tiempo más corto. Los competidores tienen la libertad de escoger el recorrido que desean, siempre que el avión se aleje 1 km de la salida y después regrese. El día del concurso, un viento uniforme sopla del norte a 5 m / s. Uno de los modelos puede mantener una velocidad respecto al aire de 15 m / s y se considera que los tiempos de arranque, parada y giro son despreciables. Se plantea la cuestión siguiente: ¿debe planearse el vuelo a favor del viento y contra el viento en el circuito o con viento cruzado este y oeste? Analícese el plan sobre estas dos alternativas: (1) El avión vuela 1 km al norte y después regresa; (2) el avión recorre 1 km hacia el este al arrancar y después regresa.

Passo 1

O enunciado trata de movimento relativo em presença de vento uniforme: o avião tem velocidade em relação ao ar de 15, m/s e o vento sopra do norte com 5, m/s. Precisamos comparar o tempo total de um percurso de ida e volta de 1,km sob duas opções:
( 1) trajeto norte–sul (vento de proa/cauda)
( 2) trajeto leste–oeste (vento cruzado).

Passo 2

Analisando o caso ( 1) – voo para norte e retorno para sul:
O vento de norte para sul gera headwind na ida e tailwind na volta.
vida=va - vw=15 - 5=10 m/s,
vvo<a=va + vw=15 + 5=20 m/s
Como a distância de ida é 1000,m e a de volta também 1000,m, os tempos são
tida=100010=100 s, tvo<a=100020=50 s,
logo o tempo total
T1=100 + 50=150 s

Passo 3

Analisando o caso ( 2) – voo leste–oeste com vento cruzado:
Para manter o percurso exatamente horizontal, o avião crava bordo de modo a cancelar a componente sul do vento. O módulo da velocidade de solo na direção leste (ou oeste) é então
vEW=raizva^2 - vw^2 =raiz15^2 - 5^2 =raiz225 - 25 =raiz200 =10raiz2 m/s
Cada trecho de 1000,m leva
ttrecho=100010raiz2=1000101raiz2 =1001raiz2 =50raiz2 sapprox70,7 s
O tempo total é
T2=2cdot50raiz2=100raiz2 sapprox141,4 s

Passo 4

Comparando T1=150,s e T2approx141,4,s, vemos que o plano leste–oeste (vento cruzado) é mais rápido.

Resposta

O percurso com vento cruzado (leste–oeste) é preferível, pois o tempo total T2=100raiz2approx141,4,s é menor que T1=150,s.

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