Seja Dk=k I a matriz escalar correspondente ao escalar k. Mostre que
B Dk=k B,

Passo 1

O enunciado diz que Dk=kI é a matriz escalar (ou seja, uma múltipla escalar da matriz identidade) e pede para mostrar que, para qualquer matriz B compatível,
B,Dk=k,B
O conteúdo é álgebra de matrizes: saber que multiplicar pela identidade não altera a matriz e que escalares podem sair de produtos de matrizes.

Passo 2

Lembrando que Dk=kI é a matriz ntimes n cujos elementos são
(Dk)ij=k,de<aij,
onde de<aij=1 se i=j e de<aij=0 caso contrário. Seja B uma matriz mtimes n. Então B,Dk é bem definido e seus elementos são dados por
(B,Dk)ij =sumell=1^nBiell,(Dk)ell j =sumell=1^nBiell,k,de<aell j

Passo 3

Na soma acima só sobrevive o termo ell=j, pois de<aell j=0 para ellneq j. Logo
(B,Dk)ij = Bij,k = k,Bij
Isto vale para todo i,j, de modo que como matrizes
B,Dk=k,B

Resposta

B,Dk=k,B

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