Um mol de gás ideal com \mathrm{Cv}=21 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1} inicialmente sob 298 K e 1 atm é submetido ao seguinte ciclo reversível:
I. aquecimento a volume constante até duplicar a temperatura inicial;
II. expansão adiabática até voltar a temperatura inicial;
III. compressão isotérmica até voltar ao estado inicial . Calcule \triangle U, \triangle H, q e w para CADA ETAPA e para o CICLO COMPLETO.

Passo 1

O enunciado descreve um mol de gás ideal com capacidade calorífica molar a volume constante \mathrm{C}_v=21\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}, pressão inicial p_1=1\\ \mathrm{atm} e temperatura inicial T_1=298\\ \mathrm{K}. O ciclo reversível segue três etapas:
  1. Aquecimento isocórico de T_1 até T_2=2T_1.
  2. Expansão adiabática de T_2 de volta a T_3=T_1.
  3. Compressão isotérmica em T=T_1 até retornar ao estado inicial (p_1,V_1).
    Para cada etapa e para o ciclo completo, vamos calcular \Delta U, \Delta H, q e w. Lembrando as relações para gás ideal:
\Delta U = n C_v\Delta T,\quad \Delta H = n C_p\Delta T,\quad C_p = C_v + R,\quad \gamma = \frac{C_p}{C_v}.
Aqui n=1\\ \mathrm{mol}, R=8{,}314\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}, logo C_p=21+8{,}314=29{,}314\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} e \gamma\approx1{,}396.

Passo 2

Etapa I (isocórica V= constante, de T_1 a T_2=596\\ \mathrm{K}):
– Trabalho:
w_I = -\int_{V_1}^{V_1}p\,dV = 0.
– Variação de energia interna:
\Delta U_I = n\,C_v\,(T_2 - T_1) =1\cdot21\cdot(596-298) =21\cdot298 =6258\\ \mathrm{J}.
– Calor trocado: da 1.ª lei \Delta U = q + w, temos
q_I = \Delta U_I - w_I = 6258\\ \mathrm{J}.
– Variação de entalpia:
\Delta H_I = n\,C_p\,(T_2 - T_1) =1\cdot29{,}314\cdot298 \approx8737\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Etapa II (adiabática reversível de T_2=596\\ \mathrm{K} a T_3=298\\ \mathrm{K}):
– Calor trocado:
q_{II} = 0.
– Variação de energia interna:
\Delta U_{II} = n\,C_v\,(T_3 - T_2) =1\cdot21\cdot(298-596) =-21\cdot298 =-6258\\ \mathrm{J}.
– Trabalho: pela 1.ª lei
w_{II} = \Delta U_{II} - q_{II} = -6258\\ \mathrm{J}.
(Negativo indica trabalho realizado pelo gás.)
– Variação de entalpia:
\Delta H_{II} = n\,C_p\,(T_3 - T_2) =1\cdot29{,}314\cdot(-298) \approx-8737\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Etapa III (compressão isotérmica reversível em T=T_1=298\\ \mathrm{K} de V_3 até V_1):
Para achar V_3/V_1, usamos a relação adiabática
T\,V^{\gamma-1}=\text{constante} \quad\Longrightarrow\quad V_3 = V_1\Bigl(\frac{T_2}{T_3}\Bigr)^{1/(\gamma-1)} =V_1\cdot2^{1/(1{,}396-1)} \approx5{,}75\,V_1.
– Variações de energia interna e entalpia (isotérmica):
\Delta U_{III}=0,\qquad \Delta H_{III}=0.
– Trabalho:
w_{III} = -\int_{V_3}^{V_1} p\,dV =-nRT_1\ln\frac{V_1}{V_3} =- (1)(8{,}314)(298)\ln\frac{1}{5{,}75} \approx+4337\\ \mathrm{J}.
– Calor trocado:
q_{III} = \Delta U_{III} - w_{III} = -4337\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Somando as três etapas para o ciclo completo:
\Delta U_{\text{ciclo}} =\sum_i\Delta U_i =6258 + (-6258) + 0 = 0,
\Delta H_{\text{ciclo}} =\sum_i\Delta H_i =8737 + (-8737) + 0 = 0,
q_{\text{ciclo}} =\sum_i q_i =6258 + 0 + (-4337) = 1921\\ \mathrm{J},
w_{\text{ciclo}} =\sum_i w_i =0 + (-6258) + 4337 = -1921\\ \mathrm{J}.
Ou seja, o ciclo rende trabalho líquido de 1921\\ \mathrm{J} pelo gás.

Resposta

I. Aquecimento isocórico:
\Delta U_I=6258\\ \mathrm{J}, \Delta H_I\approx8737\\ \mathrm{J}, q_I=6258\\ \mathrm{J}, w_I=0.
II. Expansão adiabática:
\Delta U_{II}=-6258\\ \mathrm{J}, \Delta H_{II}\approx-8737\\ \mathrm{J}, q_{II}=0, w_{II}=-6258\\ \mathrm{J}.
III. Compressão isotérmica:
\Delta U_{III}=0, \Delta H_{III}=0, q_{III}=-4337\\ \mathrm{J}, w_{III}=+4337\\ \mathrm{J}.
Ciclo completo:
\Delta U_{\text{ciclo}}=0, \Delta H_{\text{ciclo}}=0, q_{\text{ciclo}}=1921\\ \mathrm{J}, w_{\text{ciclo}}=-1921\\ \mathrm{J}.

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