2.67 Suponha que , onde e são matrizes triangulares superiores.
(a) Encontre matrizes não nulas , em que não seja triangular superior.
(b) Suponha que também seja invertível. Mostre que também deve ser triangular superior.
Passo 1
O enunciado diz que temos matrizes e triangulares superiores de ordem tais que
No item (a) queremos um exemplo não trivial em que não seja triangular superior. No item (b) devemos mostrar que, se além disso for invertível, então necessariamente será triangular superior. Vamos usar propriedades básicas de multiplicação e inversão de matrizes triangulares.
Passo 2
Para o item (a) basta escolher triangular superior mas singular (para dar liberdade a ), e escolher com um elemento abaixo da diagonal. Por exemplo,
Aqui C é triangular superior e B não é triangular superior (pois B21=1neq0).
Passo 4
Para o item (b), se A é invertível e triangular superior, então A^-1 também é triangular superior. Como C=AB é triangular superior, basta escrever
B = A^-1C
como produto de duas matrizes triangulares superiores. Mas o produto de matrizes triangulares superiores é sempre triangular superior. Logo B deve ser triangular superior.
Resposta
(a) Um exemplo é
A = 1 & 10 & 0, B = 0 & 01 & 0, C = AB = 1 & 00 & 0
Aqui A e C são triangulares superiores e B não é.
(b) Se A é invertível triangular superior, então A^-1 é triangular superior e
B = A^-1C
é produto de matrizes triangulares superiores, logo B também é triangular superior.