2.67 Suponha que A B=C, onde A e C são matrizes triangulares superiores.
(a) Encontre matrizes 2 times 2 não nulas A, B, C, em que B não seja triangular superior.
(b) Suponha que A também seja invertível. Mostre que B também deve ser triangular superior.

Passo 1

O enunciado diz que temos matrizes A e C triangulares superiores de ordem 2times2 tais que
AB=C
No item (a) queremos um exemplo não trivial em que B não seja triangular superior. No item (b) devemos mostrar que, se além disso A for invertível, então B necessariamente será triangular superior. Vamos usar propriedades básicas de multiplicação e inversão de matrizes triangulares.

Passo 2

Para o item (a) basta escolher A triangular superior mas singular (para dar liberdade a B), e escolher B com um elemento abaixo da diagonal. Por exemplo,
A = 1 & 1 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & 0

Passo 3

Calculamos
AB = 1 & 1 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 1cdot0 + 1cdot1 & 1cdot0 + 1cdot0 0cdot0 + 0cdot1 & 0cdot0 + 0cdot0 = 1 & 0 0 & 0 =: C
Aqui C é triangular superior e B não é triangular superior (pois B21=1neq0).

Passo 4

Para o item (b), se A é invertível e triangular superior, então A^-1 também é triangular superior. Como C=AB é triangular superior, basta escrever
B = A^-1C
como produto de duas matrizes triangulares superiores. Mas o produto de matrizes triangulares superiores é sempre triangular superior. Logo B deve ser triangular superior.

Resposta

(a) Um exemplo é
A = 1 & 10 & 0, B = 0 & 01 & 0, C = AB = 1 & 00 & 0
Aqui A e C são triangulares superiores e B não é.
(b) Se A é invertível triangular superior, então A^-1 é triangular superior e
B = A^-1C
é produto de matrizes triangulares superiores, logo B também é triangular superior.

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