7.67 Seja w=(1,-2,-1,3) um vetor de \mathbf{R}^{4}. Encontre
(a) uma base ortogonal de w^{\perp},
(b) uma base ortonormal de w^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \mathbf{w}=(1,-2,-1,3) em \mathbf{R}^{4} e pede uma base ortogonal e uma base ortonormal de \mathbf{w}^{\perp}=\{\mathbf{v}\in\mathbf{R}^{4}\mid \mathbf{w}\cdot\mathbf{v}=0\}.
O conteúdo aqui é encontrar o subespaço ortogonal a \mathbf{w}, ou seja resolver
x_{1}-2x_{2}-x_{3}+3x_{4}=0,
obter uma base qualquer e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para ortogonalizar e, por fim, normalizar.

Passo 2

Vamos achar três vetores linearmente independentes que satisfaçam
x_{1}-2x_{2}-x_{3}+3x_{4}=0.
Escolhendo variáveis livres:
  1. Se x_{2}=1,\;x_{3}=0,\;x_{4}=0, então x_{1}=2. Vetor \mathbf{v}_{1}=(2,1,0,0).
  2. Se x_{2}=0,\;x_{3}=1,\;x_{4}=0, então x_{1}=1. Vetor \mathbf{v}_{2}=(1,0,1,0).
  3. Se x_{2}=0,\;x_{3}=0,\;x_{4}=1, então x_{1}=-3. Vetor \mathbf{v}_{3}=(-3,0,0,1).
Esses três formam uma base de \mathbf{w}^{\perp}, mas não são mutuamente ortogonais.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt a \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}\}.
  1. Seja \mathbf{u}_{1}=\mathbf{v}_{1}=(2,1,0,0).
  2. Calcule
\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) =\frac{\mathbf{v}_2\cdot\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|^2}\,\mathbf{u}_1 =\frac{2}{5}\,(2,1,0,0)=(\tfrac{4}{5},\tfrac{2}{5},0,0),
então
\mathbf{u}_{2} =\mathbf{v}_{2}-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2) =(1,0,1,0)-(\tfrac{4}{5},\tfrac{2}{5},0,0) =(\tfrac{1}{5},-\tfrac{2}{5},1,0).
Para trabalhar com inteiros, multiplico \mathbf{u}_2 por 5 e uso \mathbf{u}_2'=(1,-2,5,0).
  1. Para \mathbf{u}_3, calculo projeções de \mathbf{v}_3 em \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2:
\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_3) =\frac{-6}{5}(2,1,0,0)=(-\tfrac{12}{5},-\tfrac{6}{5},0,0), \quad \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2'}(\mathbf{v}_3) =-\tfrac12\,(1,-2,5,0)=(-\tfrac12,1,-\tfrac{5}{2},0).
Então
\mathbf{u}_{3} =\mathbf{v}_3 -\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_3) -\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2'}(\mathbf{v}_3) =(-3,0,0,1)-(-\tfrac{12}{5},-\tfrac{6}{5},0,0)-(-\tfrac12,1,-\tfrac{5}{2},0) =(-\tfrac12,1,\tfrac12,1).
Multiplico por 2 para limpar frações e uso \mathbf{u}_3'=(-1,2,1,2).
Agora \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2',\mathbf{u}_3'\} é ortogonal e contida em \mathbf{w}^\perp.

Passo 4

Para obter a base ortonormal, normalizo cada \mathbf{u}_i:
\|\mathbf{u}_1\|=\sqrt{2^2+1^2}= \sqrt{5},\quad \|\mathbf{u}_2'\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+5^2}=\sqrt{30},\quad \|\mathbf{u}_3'\|=\sqrt{(-1)^2+2^2+1^2+2^2}=\sqrt{10}.
Logo as três direções normalizadas são
\mathbf{e}_1=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1,0,0),\quad \mathbf{e}_2=\frac{1}{\sqrt{30}}(1,-2,5,0),\quad \mathbf{e}_3=\frac{1}{\sqrt{10}}(-1,2,1,2).

Resposta

(a) Uma base ortogonal de \mathbf{w}^\perp é
\{(2,1,0,0),\;(1,-2,5,0),\;(-1,2,1,2)\}.
(b) Uma base ortonormal de \mathbf{w}^\perp é
\Bigl\{\tfrac{1}{\sqrt{5}}(2,1,0,0),\; \tfrac{1}{\sqrt{30}}(1,-2,5,0),\; \tfrac{1}{\sqrt{10}}(-1,2,1,2)\Bigr\}.

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