7.67 Seja
um vetor de
. Encontre
(a) uma base ortogonal de
,
(b) uma base ortonormal de
.
(a) uma base ortogonal de
(b) uma base ortonormal de
Passo 1
O enunciado dá o vetor
em
e pede uma base ortogonal e uma base ortonormal de
O conteúdo aqui é encontrar o subespaço ortogonal a , ou seja resolver
O conteúdo aqui é encontrar o subespaço ortogonal a
obter uma base qualquer e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt para ortogonalizar e, por fim, normalizar.
Passo 2
Vamos achar três vetores linearmente independentes que satisfaçam
Escolhendo variáveis livres:
- Se
, então . Vetor . - Se
, então . Vetor . - Se
, então . Vetor .
Esses três formam uma base de
, mas não são mutuamente ortogonais.
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt a
.
- Seja
. - Calcule
então
Para trabalhar com inteiros, multiplico
por 5 e uso
.
- Para
, calculo projeções de em e :
Então
Multiplico por 2 para limpar frações e uso
.
Agora
é ortogonal e contida em
.
Passo 4
Para obter a base ortonormal, normalizo cada
:
Logo as três direções normalizadas são
Resposta
(a) Uma base ortogonal de
é
(b) Uma base ortonormal de
é