Considere os pontos A=(-2,1,-3), B=(1,2,1), C=(-1,1,-1), D=(2,-2,-1).
(a) Verifique que os pontos A, B, C e D não são coplanares.
(b) Calcule o volume do paralelepípedo que tem um vértice em A e vértices adjacentes em B, C e D.

Passo 1

O enunciado fornece quatro pontos A,B,C,D em \mathbb{R}^3 e pede:
(a) verificar que eles não são coplanares;
(b) calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD}.
Para isso, vamos usar o produto escalar misto
(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}),
que se for diferente de zero indica não coplanaridade, e cujo valor absoluto é o volume do paralelepípedo.

Passo 2

Calcular os vetores a partir de A=(-2,1,-3):
\overrightarrow{AB}=B-A=(1-(-2),\,2-1,\,1-(-3))=(3,1,4),
\overrightarrow{AC}=C-A=(-1-(-2),\,1-1,\,-1-(-3))=(1,0,2),
\overrightarrow{AD}=D-A=(2-(-2),\,-2-1,\,-1-(-3))=(4,-3,2).

Passo 3

Computar o produto vetorial \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}:
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & 2\\\\ 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} =(0\cdot2 - 2\cdot(-3),\;-\bigl(1\cdot2 - 2\cdot4\bigr),\;1\cdot(-3)-0\cdot4) =(6,6,-3).

Passo 4

Calcular o produto escalar misto:
(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) = (3,1,4)\cdot(6,6,-3) =3\cdot6 + 1\cdot6 + 4\cdot(-3) =18 + 6 - 12 = 12.

Passo 5

Como o produto escalar misto é 12\neq0, concluímos que os pontos A,B,C,D não são coplanares. O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto escalar misto, isto é \lvert12\rvert = 12.

Resposta

(a) Os pontos não são coplanares, pois o produto escalar misto vale 12\neq0.
(b) O volume do paralelepípedo é 12.

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