(2,0 pontos) Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear determinada pelas imageons dis base
v_{1}=(1,0,1), \quad v_{2}=(1,1,1), \quad v_{3}=(0,1,2)
de \mathbb{R}^{3} :
T\left(v_{1}\right)=(1,2), \quad T\left(v_{2}\right)=(0,-1), \quad T\left(v_{3}\right)=(3,1) .
Determine a expressão geral de T(x, y, z) e a matriz associada a T nas bases canônicas de \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}. A transformação linear T é injetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear \;T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,
pelos valores em três vetores que formam base de \mathbb{R}^3:
v_{1}=(1,0,1),\;v_{2}=(1,1,1),\;v_{3}=(0,1,2),
com
T(v_{1})=(1,2),\quad T(v_{2})=(0,-1),\quad T(v_{3})=(3,1).
Precisamos achar a expressão geral de T(x,y,z), a matriz associada nas bases canônicas e verificar se T é injetora.

Passo 2

Para usar a linearidade, escrevemos um vetor genérico (x,y,z) como combinação dos vetores v_1,v_2,v_3:
(x,y,z)=a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}.
Isso gera o sistema
a+b=x,\quad b+c=y,\quad a+b+2c=z.
Resolvendo (por substituição ou matriz aumentada) obtemos
a=\frac{x-2y+z}{2},\quad b=\frac{x+2y-z}{2},\quad c=\frac{z-x}{2}.

Passo 3

Pela linearidade,
T(x,y,z) = a\,T(v_{1})+b\,T(v_{2})+c\,T(v_{3}) = a\,(1,2)+b\,(0,-1)+c\,(3,1).
Calculando componente a componente:
\begin{aligned} \text{1ª comp.}&: a+3c =\frac{x-2y+z}{2}+3\cdot\frac{z-x}{2} =-x -y +2z,\\\ \text{2ª comp.}&:2a -b +c =2\cdot\frac{x-2y+z}{2}-\frac{x+2y-z}{2}+\frac{z-x}{2} =-3y+2z. \end{aligned}ªª
Logo,
T(x,y,z)=\bigl(-x -y +2z,\;-3y+2z\bigr).

Passo 4

Na base canônica de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2, a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2\\\\ 0 & -3 & 2 \end{pmatrix},
pois
T(x,y,z) = \begin{pmatrix}-1 & -1 & 2\\[6pt]0 & -3 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para ver se T é injetora, analisamos \ker T. Resolvendo
(-x -y +2z,\, -3y+2z)=(0,0)
vem da 2ª equação 2z=3y e da 1ª x=2y. Há soluções não nulas (por exemplo y=1\implies (x,y,z)=(2,1,3/2)), logo \dim\ker T>0. Assim, T não é injetora.

Resposta

A expressão geral é
T(x,y,z)=\bigl(-x -y +2z,\;-3y+2z\bigr).
A matriz nas bases canônicas é
\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2\\\\ 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}.
Como \ker T\neq\{0\}, T não é injetora.

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