(2,0 pontos) Seja
uma transformação linear determinada pelas imageons dis base
de
:
Determine a expressão geral de
e a matriz associada a
nas bases canônicas de
e
. A transformação linear
é injetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
,
pelos valores em três vetores que formam base de :
pelos valores em três vetores que formam base de
com
Precisamos achar a expressão geral de
, a matriz associada nas bases canônicas e verificar se
é injetora.
Passo 2
Para usar a linearidade, escrevemos um vetor genérico
como combinação dos vetores
:
Isso gera o sistema
Resolvendo (por substituição ou matriz aumentada) obtemos
Passo 3
Pela linearidade,
Calculando componente a componente:
Logo,
Passo 4
Na base canônica de
e
, a matriz de
é
pois
]
Passo 5
Para ver se
é injetora, analisamos
. Resolvendo
vem da 2ª equação
e da 1ª
. Há soluções não nulas (por exemplo
), logo
. Assim,
não é injetora.
Resposta
A expressão geral é
A matriz nas bases canônicas é
Como
,
não é injetora.