7.68 Seja
o subespaço de
ortogonal a
e
. Encontre
(a) uma base ortogonal de
,
(b) uma base ortonormal de
.
(a) uma base ortogonal de
(b) uma base ortonormal de
Passo 1
O enunciado pede o subespaço
onde
onde
O conteúdo que vamos usar é: resolver o sistema de produto escalar zero para achar uma base de
, aplicar o processo de Gram–Schmidt para torná-la ortogonal e, por fim, normalizar para obter a base ortonormal.
Passo 2
Impondo
, temos as equações
Da segunda obtemos
e, substituindo na primeira,
Passo 3
Logo a solução geral é
Uma base qualquer de
é
Passo 4
Aplicando Gram–Schmidt a
:
calculemos
calculemos
Então a projeção de
em
é
e definimos
Multiplicando por 5 para evitar frações, podemos usar
Agora
é ortogonal, pois
Passo 5
Para a base ortonormal basta normalizar:
Logo uma base ortonormal é
Resposta
(a) Uma base ortogonal de
é
(b) Uma base ortonormal de
é