7.68 Seja W o subespaço de \mathbf{R}^{4} ortogonal a u_{1}=(1,1,2,2) e u_{2}=(0,1,2,-1). Encontre
(a) uma base ortogonal de W,
(b) uma base ortonormal de W.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço \displaystyle W = \{x\in\mathbb{R}^4 \mid x\cdot u_1 = 0,\;x\cdot u_2 = 0\}
onde
u_1 = (1,1,2,2), \qquad u_2 = (0,1,2,-1).
O conteúdo que vamos usar é: resolver o sistema de produto escalar zero para achar uma base de W, aplicar o processo de Gram–Schmidt para torná-la ortogonal e, por fim, normalizar para obter a base ortonormal.

Passo 2

Impondo x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in W, temos as equações
x_1 + x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 0,
x_2 + 2x_3 - x_4 = 0.
Da segunda obtemos
x_2 = -2x_3 + x_4,
e, substituindo na primeira,
x_1 +(-2x_3+x_4) + 2x_3 + 2x_4 = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = -3x_4.

Passo 3

Logo a solução geral é
x = x_3\,(0,-2,1,0)+x_4\,(-3,1,0,1).
Uma base qualquer de W é
w_1 = (0,-2,1,0), \qquad w_2 = (-3,1,0,1).

Passo 4

Aplicando Gram–Schmidt a \{w_1,w_2\}:
calculemos
w_1\cdot w_1 = 0^2+(-2)^2+1^2+0^2 = 5, \qquad w_2\cdot w_1 = 0\cdot(-3)+(-2)\cdot1+1\cdot0+0\cdot1 = -2.
Então a projeção de w_2 em w_1 é \tfrac{-2}{5}w_1 e definimos
v_2 = w_2 - \frac{w_2\cdot w_1}{w_1\cdot w_1}\,w_1 = (-3,1,0,1) + \frac{2}{5}(0,-2,1,0) = \Bigl(-3,\tfrac15,\tfrac25,1\Bigr).
Multiplicando por 5 para evitar frações, podemos usar
v_2 = (-15,1,2,5).
Agora \{v_1=w_1,\;v_2\} é ortogonal, pois
v_1\cdot v_2 = (0)(-15)+(-2)(1)+1\cdot2+0\cdot5 = -2+2 = 0.

Passo 5

Para a base ortonormal basta normalizar:
\|v_1\| = \sqrt{5}, \qquad \|v_2\| = \sqrt{(-15)^2+1^2+2^2+5^2} = \sqrt{255}.
Logo uma base ortonormal é
e_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}\,(0,-2,1,0), \qquad e_2 = \frac{1}{\sqrt{255}}\,(-15,1,2,5).

Resposta

(a) Uma base ortogonal de W é
(0,-2,1,0),\quad(-15,1,2,5).
(b) Uma base ortonormal de W é
\Bigl(0,-\tfrac{2}{\sqrt5},\tfrac{1}{\sqrt5},0\Bigr), \quad \Bigl(-\tfrac{15}{\sqrt{255}},\tfrac{1}{\sqrt{255}},\tfrac{2}{\sqrt{255}},\tfrac{5}{\sqrt{255}}\Bigr).

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