Exercício 1. Seja p o último dígito no seu número de matrícula. Considere a matriz:
A=\left(\begin{array}{ccc} 7 & 0 & -2 \\\\ 3 & 4 & -2 \\\\ 12 & 0 & -3 \end{array}\right)
(a) Calcule o polinômio característico de A e seus autovalores.
(b) Para cada autovalor, encontre um autovetor associado.
(c) A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que P^{-1} A P é uma matriz diagonal. Se não for, justifique.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 7 & 0 & -2\\\\ 3 & 4 & -2\\\\ 12 & 0 & -3 \end{pmatrix}
e pede: (a) o polinômio característico e os autovalores; (b) um autovetor para cada autovalor; (c) verificar se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz P que diagonalize A. Vamos usar definição de determinante para obter o polinômio, resolver sistemas (A-\lambda I)v=0 para os autovetores e critério de diagonalização por autovalores distintos.

Passo 2

Calculamos
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 7-\lambda & 0 & -2\\\\ 3 & 4-\lambda & -2\\\\ 12 & 0 & -3-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela segunda coluna (só o elemento (2,2) é não nulo), vem
\det(A-\lambda I)=(4-\lambda)\det\begin{pmatrix} 7-\lambda & -2\\\\ 12 & -3-\lambda \end{pmatrix}.
Dentro do menor,
(7-\lambda)(-3-\lambda)-(-2)\cdot12 =-\bigl((7-\lambda)(3+\lambda)\bigr)+24 =\lambda^2-4\lambda+3.
Logo
\det(A-\lambda I)=(4-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+3) =-(\lambda-4)(\lambda-1)(\lambda-3).
Os autovalores são as raízes \lambda=1, \lambda=3 e \lambda=4.

Passo 3

Para cada autovalor resolvemos [(A-\lambda I)v=0):
— Para \lambda=1:
A-I=\begin{pmatrix}6&0&-2\\\ 3&3&-2\\\ 12&0&-4\end{pmatrix} \implies \begin{cases} 6x-2z=0\;( \Rightarrow z=3x),\\\\ 3x+3y-2z=0\;( \Rightarrow y=x). \end{cases}
Um autovetor é
v_1=(1,1,3)^\mathsf{T}.
— Para (\lambda=3]:
A-3I=\begin{pmatrix}4&0&-2\\\ 3&1&-2\\\ 12&0&-6\end{pmatrix} \implies \begin{cases} 4x-2z=0\;( \Rightarrow z=2x),\\\\ 3x+y-2z=0\;( \Rightarrow y=x). \end{cases}
Um autovetor é
v_2=(1,1,2)^\mathsf{T}.
— Para \lambda=4:
A-4I=\begin{pmatrix}3&0&-2\\\ 3&0&-2\\\ 12&0&-7\end{pmatrix} \implies 3x-2z=0,\;12x-7z=0 \;\Rightarrow\;x=z=0,\;y\text{ livre}.
Podemos escolher
v_3=(0,1,0)^\mathsf{T}.

Passo 4

Como os três autovalores são distintos, A é diagonalizável. Basta formar
P=\bigl[v_1\;v_2\;v_3\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix},
então
P^{-1}AP =\begin{pmatrix} 1&0&0\\\ 0&3&0\\\ 0&0&4 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)=-(\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-4).
Os autovalores são \lambda=1,3,4.
(b) Autovetores associados:
\lambda=1:\;v_1=(1,1,3)^\mathsf{T},\quad \lambda=3:\;v_2=(1,1,2)^\mathsf{T},\quad \lambda=4:\;v_3=(0,1,0)^\mathsf{T}.
(c) A é diagonalizável (três autovalores distintos).
Uma matriz P que diagonaliza é
P=\begin{pmatrix} 1&1&0\\\\ 1&1&1\\\\ 3&2&0 \end{pmatrix},
tal que P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,3,4).

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