Q18: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores sao -4 e 3 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa cor 10:
(A) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{4} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{3}\end{array}\right] M^{-1}
(B) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{4} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{3}\end{array}\right] M
(C) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}4 & 0 \\\\ 0 & -3\end{array}\right] M^{-1}
(D) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-4 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] M^{-1}
(E) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-4 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] M
(F) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}4 & 0 \\\\ 0 & -3\end{array}\right] M
(G) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 2\times2 com autovalores -4 e 3 associados, respectivamente, aos autovetores \vec v_1 e \vec v_2. Foi definida
M = \bigl[\vec v_1\;\;\vec v_2\bigr].
Queremos expressar A^{-1} em termos de M.

Passo 2

Pelo teorema da diagonalização, como \vec v_1 e \vec v_2 formam uma base de autovetores, temos
A = M\,D\,M^{-1},
onde
D = \begin{pmatrix} -4 & 0\\\\ 0 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como A é invertível, sua inversa satisfaz
A^{-1} = \bigl(M\,D\,M^{-1}\bigr)^{-1} = M\,D^{-1}\,M^{-1}.
Basta então calcular
D^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 0\\\\ 0 & 3 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{4} & 0\\\\ 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.

Passo 4

Substituindo em A^{-1} = M\,D^{-1}\,M^{-1}, obtemos
A^{-1} = M \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{4} & 0\\\\ 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} M^{-1},
que corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A)

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