68 Duas ondas senoidais de 120 Hz, com a mesma amplitude, se propagam no sentido positivo de um eixo x em uma corda sob tensão. As ondas podem ser geradas em fase ou defasadas. A Fig. 16-49 mostra a amplitude y^{\prime} da onda resultante em função da distância de defasagem (distância entre as ondas no mesmo instante). A escala do eixo vertical é definida por y_{s}^{\prime}=6,0 \mathrm{~mm}. Se as equações das duas ondas são da forma y(x, t)=y_{m} \operatorname{sen}(k x \pm \omega t), quais são (a) y_{m}, (b) k, (c) \omega \mathrm{e} (d) o sinal que precede \omega ?

Passo 1

O enunciado descreve duas ondas senoidais de frequência f=120,Hz e mesma amplitude y_{m}, ambas se propagando no sentido positivo de x. A figura dá a amplitude resultante y' em função da separação \Delta x entre as ondas num mesmo instante. Sabendo que para duas ondas iguais em fase a amplitude resultante é
y'(\Delta x)=2\,y_{m}\,\bigl|\cos\bigl(\tfrac{k\,\Delta x}{2}\bigr)\bigr|,
podemos extrair y_{m}, k, \omega e o sinal em frente a \omega t.

Passo 2

O valor máximo de y' ocorre em \Delta x=0 e vale y'_s=6{,}0,mm. Como y'(0)=2\,y_{m}, temos
2\,y_{m}=6{,}0\text{ mm} \quad\Longrightarrow\quad y_{m}=3{,}0\text{ mm}.

Passo 3

O primeiro zero de y'(\Delta x) acontece em \Delta x=10,cm porque aí \cos\bigl(\tfrac{k\,\Delta x}{2}\bigr)=0. Logo
\frac{k\,(0{,}10)}{2}=\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{\pi}{0{,}10}=10\pi\\ \text{rad/m}.

Passo 4

A pulsação é dada por \omega=2\pi f. Substituindo f=120,Hz, fica
\omega=2\pi\,(120)=240\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Para uma onda do tipo \sin(kx\pm\omega t) se propagar no sentido positivo de x, usamos o sinal “−” antes de \omega t.

Resposta

(a) y_{m}=3{,}0\text{ mm}
(b) k=10\pi\\ \text{rad/m}
(c) \omega=240\pi\\ \text{rad/s}
(d) sinal “−” (ou seja, y=y_{m}\sin(kx-\omega t)).

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