Ex-02 Uma carga q=2 \mu C se move segundo a trajetória \overrightarrow{\boldsymbol{q}}(t)=\sin t \overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+\cos t \overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}+t \overrightarrow{\boldsymbol{k}} (em m e t em s ). Calcule o campo magnético \vec{B} no ponto P(0,0,1) m, no instante t=2 s.
(a) Calcule o vetor \overrightarrow{\boldsymbol{r}};
(b) Calcule o vetor velocidade \vec{v};
(c) Calcule o vetor \vec{v} \times \vec{r};
(d) Calcule o vetor campo magnético \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.

Passo 1

O enunciado dá uma carga q=2\,\mu\mathrm C que se move segundo
\vec r_q(t) = \sin t\,\hat\imath + \cos t\,\hat\jmath + t\,\hat k
e pede o campo magnético em P(0,0,1) no instante t=2 s. O conteúdo principal é a lei de Biot–Savart para uma carga pontual em movimento, que diz que
\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,\vec v\times\vec r}{r^3},
onde
\vec v é a velocidade da carga,
\vec r = \vec r_P - \vec r_q é o vetor que vai da carga até o ponto de observação,
r = \|\vec r\|.

Passo 2

Cálculo de \vec r no instante t=2. Primeiro a posição da carga é
\vec r_q(2) = \sin(2)\,\hat\imath + \cos(2)\,\hat\jmath + 2\,\hat k.
O ponto P tem \vec r_P=(0,0,1). Logo
\vec r = \vec r_P - \vec r_q(2) = \bigl(0-\sin2\bigr)\,\hat\imath +\bigl(0-\cos2\bigr)\,\hat\jmath +\bigl(1-2\bigr)\,\hat k = -\sin2\,\hat\imath -\cos2\,\hat\jmath -\hat k.
Numericamente, \sin2\approx0{,}9093, \cos2\approx-0{,}4161, então
\vec r \approx -0{,}9093\,\hat\imath +0{,}4161\,\hat\jmath -1\,\hat k.

Passo 3

Cálculo da velocidade \vec v=d\vec r_q/dt.
\vec v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\sin t\,\hat\imath + \cos t\,\hat\jmath + t\,\hat k\bigr) = \cos t\,\hat\imath -\sin t\,\hat\jmath +\hat k.
Em t=2:
\vec v(2)=\cos2\,\hat\imath -\sin2\,\hat\jmath +\hat k \approx -0{,}4161\,\hat\imath -0{,}9093\,\hat\jmath +1\,\hat k.

Passo 4

Cálculo do produto vetorial \vec v\times\vec r em t=2.
\vec v(2)\times\vec r = \begin{vmatrix} \hat\imath & \hat\jmath & \hat k\\\ \cos2 & -\sin2 & 1 \\\\ -\sin2 & -\cos2 & -1 \end{vmatrix} = (\sin2+\cos2)\,\hat\imath +(\cos2-\sin2)\,\hat\jmath -1\,\hat k.
Numericamente, usando \sin2\approx0{,}9093, \cos2\approx-0{,}4161:
\vec v\times\vec r\approx 0{,}4932\,\hat\imath \;+\;-1{,}3254\,\hat\jmath\;-\;1\,\hat k.

Passo 5

Cálculo do módulo de \vec r e aplicação da lei de Biot–Savart.
r = \|\vec r\| = \sqrt{\sin^2 2 + \cos^2 2 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2,
logo
r^3 = (\sqrt2)^3 = 2\sqrt2.
Como \mu_0/(4\pi)=10^{-7} no SI e q=2\cdot10^{-6} C, temos
\frac{\mu_0}{4\pi}\,q = 10^{-7}\times 2\times10^{-6} = 2\times10^{-13}.
Portanto
\vec B = \frac{2\times10^{-13}}{2\sqrt2}\bigl(\vec v\times\vec r\bigr) = \frac{2\times10^{-13}}{2{,}828}\bigl(\vec v\times\vec r\bigr) \approx 7{,}07\times10^{-14}\,(\vec v\times\vec r).
Substituindo \vec v\times\vec r numérico:
\vec B(2\,\mathrm s)\approx 7{,}07\times10^{-14}\bigl(0{,}4932\,\hat\imath -1{,}3254\,\hat\jmath -1\,\hat k\bigr)\,\mathrm T \approx (3{,}49\,\hat\imath -9{,}37\,\hat\jmath -7{,}07\,\hat k)\times10^{-14}\,\mathrm T.

Resposta

\displaystyle \vec B(2\,\mathrm s)\approx (3{,}49\,\hat\imath -9{,}37\,\hat\jmath -7{,}07\,\hat k)\times10^{-14}\,\mathrm T.

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