Encontre a equaçăo canônica da parábola, cujo o foco é o centro da elipse de equaçāo
e a diretriz é a reta tangente a elipse no ponto
.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede a equação canônica de uma parábola cujo foco é o centro da elipse
e cuja diretriz é a reta tangente a essa elipse no ponto
. Vamos precisar de: (i) encontrar o centro da elipse completando quadrados, (ii) achar a reta tangente em
pela derivada implícita, (iii) usar foco e diretriz horizontais para determinar vértice e parâmetro
, e (iv) escrever a forma canônica
.
Passo 2
Para achar o centro da elipse, agrupamos e completamos quadrados:
Logo a elipse está no formato
e seu centro (foco da parábola) é
Passo 3
Para a tangente à elipse usamos derivada implícita de
Derivando em
:
No ponto
, o numerador
, logo
. Portanto a reta tangente (diretriz) é
Passo 4
Como a diretriz é
(horizontal), a parábola tem eixo vertical passando por
. A distância do foco
até a reta
é
de modo que
. O vértice
fica a meio caminho entre foco e diretriz, isto é, em
logo
. Como o foco está acima do vértice, a parábola abre para cima.
Passo 5
A forma canônica de uma parábola vertical com vértice
e parâmetro
é
Substituindo
,
e
:
Resposta
y
\frac{1}{12}(x
)^{2} (alternativa c)