Encontre a equaçăo canônica da parábola, cujo o foco é o centro da elipse de equaçāo 36 x^{2}+35 y^{2}+288 x+70 y-649=0 e a diretriz é a reta tangente a elipse no ponto (-4,-7).
a. y-2=\frac{1}{12}(x+4)^{2}
b. y+1=\frac{1}{8}(x+4)^{2}
c. y+4=\frac{1}{12}(x+4)^{2}
d. y-3=-\frac{1}{8}(x+4)^{2}
e. y-4-\frac{1}{8}(x-2)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a equação canônica de uma parábola cujo foco é o centro da elipse
36x^{2}+35y^{2}+288x+70y-649=0
e cuja diretriz é a reta tangente a essa elipse no ponto (-4,-7). Vamos precisar de: (i) encontrar o centro da elipse completando quadrados, (ii) achar a reta tangente em (-4,-7) pela derivada implícita, (iii) usar foco e diretriz horizontais para determinar vértice e parâmetro p, e (iv) escrever a forma canônica (x-h)^2=4p(y-k).

Passo 2

Para achar o centro da elipse, agrupamos e completamos quadrados:
36x^{2}+288x+35y^{2}+70y-649=0
36\bigl(x^{2}+8x\bigr)+35\bigl(y^{2}+2y\bigr)=649
36\bigl((x+4)^{2}-16\bigr)+35\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)=649
36(x+4)^{2}+35(y+1)^{2}-576-35=649
36(x+4)^{2}+35(y+1)^{2}=1260.
Logo a elipse está no formato
\frac{(x+4)^{2}}{35}+\frac{(y+1)^{2}}{36}=1
e seu centro (foco da parábola) é
F=(-4,\,-1).

Passo 3

Para a tangente à elipse usamos derivada implícita de
36x^{2}+35y^{2}+288x+70y-649=0.
Derivando em x:
72x+70y\,y'+288+70y'=0 \;\Longrightarrow\; y'\,(70y+70)=-72x-288.
No ponto (-4,-7), o numerador -72(-4)-288=288-288=0, logo y'=0. Portanto a reta tangente (diretriz) é
y=-7.

Passo 4

Como a diretriz é y=-7 (horizontal), a parábola tem eixo vertical passando por x=-4. A distância do foco F=(-4,-1) até a reta y=-7 é
D=|-1-(-7)|=6,
de modo que p=\tfrac{D}{2}=3. O vértice V fica a meio caminho entre foco e diretriz, isto é, em
y_V=-1-3=-4 \quad\text{e}\quad x_V=-4,
logo V=(-4,-4). Como o foco está acima do vértice, a parábola abre para cima.

Passo 5

A forma canônica de uma parábola vertical com vértice (h,k) e parâmetro p é
(x-h)^{2}=4p\,(y-k).
Substituindo h=-4, k=-4 e p=3:
(x+4)^{2}=12\,(y+4) \quad\Longleftrightarrow\quad y+4=\tfrac{1}{12}(x+4)^{2}.

Resposta

y +4=\frac{1}{12}(x +4)^{2} (alternativa c)

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