8.68 Um tubo de comprimento 10^{3} \mathrm{~m} e diâmetro 18 cm encontra-se posicionado com uma inclinação de 1 / 150. Óleo é bombeado com uma vazão de 25 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. A gravidade especffica do óleo é 1,1, e a viscosidade é 0,18 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~s} / \mathrm{m}^{2}. Determine a perda de carga pelo atrito e calcule também a potência requerida para bombear o óleo.

Passo 1

O enunciado fornece um tubo de comprimento L=1000 m e diâmetro D=0{,}18 m, inclinado de 1/150, por onde escoa óleo com vazão Q=25 L/s. A gravidade específica é 1,1, logo a densidade é \rho=1{,}1\times1000=1100 kg/ m^{3}, e a viscosidade absoluta é \mu=0{,}18 N\cdot s/ m^{2}.
Conteúdo: mecânica dos fluidos—cálculo de número de Reynolds, fator de atrito em escoamento laminar, equação de Darcy–Weisbach para perda de carga e potência hidráulica da bomba.

Passo 2

Calcular a área da seção e a velocidade média no tubo.
A área é
A = \frac{\pi D^2}{4}
A = \frac{\pi\,(0{,}18)^2}{4}\approx0{,}02545\text{ m}^2.
A velocidade média é
V = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}025}{0{,}02545}\approx0{,}981\text{ m/s}.

Passo 3

Determinar o número de Reynolds e verificar o regime de escoamento; em seguida o fator de atrito para escoamento laminar.
Re = \frac{\rho\,V\,D}{\mu} = \frac{1100 \times 0{,}981 \times 0{,}18}{0{,}18}\approx1080.
Como Re<2000, o escoamento é laminar e o fator de atrito de Darcy é
f = \frac{64}{Re} = \frac{64}{1080}\approx0{,}0593.

Passo 4

Calcular a perda de carga por atrito usando Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2\,g}.
Substituindo L/D=1000/0{,}18\approx5555{,}6, V^2/(2g)=0{,}981^2/(2\times9{,}81)\approx0{,}04904 m, e f=0{,}0593, obtém-se
h_f = 0{,}0593 \times 5555{,}6 \times 0{,}04904 \approx16{,}2\text{ m}.

Passo 5

Calcular a altura geométrica devido à inclinação e a altura total de elevação.
A elevação é
h_z = L\times\frac{1}{150} = 1000\times\frac{1}{150}\approx6{,}67\text{ m}.
Logo a carga total que a bomba deve vencer é
H = h_f + h_z \approx16{,}2 + 6{,}67 = 22{,}87\text{ m}.

Passo 6

Calcular a potência hidráulica requerida pela bomba (desprezando perdas mecânicas):
P = \rho\,g\,Q\,H.
Substituindo \rho=1100 kg/ m^{3}, g=9{,}81 m/ s^{2}, Q=0{,}025 m^{3}/s e H=22{,}87 m,
P = 1100 \times 9{,}81 \times 0{,}025 \times 22{,}87 \approx6150\text{ W}\approx6{,}15\text{ kW}.

Resposta

Perda de carga por atrito: h_f\approx16{,}2 m.
Potência requerida: P\approx6{,}15 kW.

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