Um fluido que possui densidade de 0,8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e viscosidade igual a 1,4 \mathrm{cp}, está escoando sobre uma placa plana. A velocidade do fluido longe da placa, \mathrm{u}_{\infty}, é de 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Calcular:
a) As velocidades \mathrm{v}_{\mathrm{x}} e \mathrm{v}_{\mathrm{y}} em ( 20 \mathrm{~cm}, 1 \mathrm{~cm} );
b) Re nesse ponto;
c) A espessura da camada limite \mathrm{em} \mathrm{x}=40 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado trata do escoamento laminar de um fluido sobre placa plana (perfil de Blasius). Dados: densidade \rho=0,8\\ \mathrm{g/cm^3}, viscosidade dinâmica \mu=1{,}4\\ \mathrm{cp}=1{,}4\times10^{-2}\\ \mathrm{g/(cm\,s)}, velocidade de referência u_\infty=3\\ \mathrm{cm/s}. Vamos precisar da viscosidade cinemática
\nu=\frac{\mu}{\rho},
da espessura da camada limite laminar
\delta_{99}(x)=5\sqrt{\frac{\nu\,x}{u_\infty}},
e das funções de similaridade de Blasius f(\eta) e f'(\eta), com
\eta=y\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu\,x}}\,.

Passo 2

Calcular a viscosidade cinemática
\nu=\frac{1{,}4\times10^{-2}}{0{,}8}=1{,}75\times10^{-2}\\ \mathrm{cm^2/s}.

Passo 3

No ponto (x,y)=(20\\ \mathrm{cm},\,1\\ \mathrm{cm}) a espessura da camada limite é
\delta_{99}(20) =5\sqrt{\frac{1{,}75\times10^{-2}\times20}{3}} =5\sqrt{0{,}1167} \approx1{,}708\\ \mathrm{cm}.
O parâmetro de similaridade é
\eta =y\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu\,x}} =1\;\sqrt{\frac{3}{1{,}75\times10^{-2}\times20}} \approx2{,}93.

Passo 4

Usando tabela de Blasius para \eta=2{,}93, obtemos
f'(\eta)\approx0{,}98,\qquad f(\eta)\approx1{,}73.
Então a componente tangencial da velocidade é
v_x=u=u_\infty\,f'(\eta) =3\times0{,}98 \approx2{,}94\\ \mathrm{cm/s}.
E a componente normal é
v_y =\frac12\sqrt{\frac{\nu\,u_\infty}{x}} \bigl[\eta\,f'(\eta)-f(\eta)\bigr] =\frac12\sqrt{\frac{1{,}75\times10^{-2}\times3}{20}} \bigl[2{,}93\cdot0{,}98-1{,}73\bigr] \approx0{,}029\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 5

O número de Reynolds local em x=20\\ \mathrm{cm} é
\mathrm{Re}_x =\frac{u_\infty\,x}{\nu} =\frac{3\times20}{1{,}75\times10^{-2}} \approx3429.

Passo 6

Em x=40\\ \mathrm{cm}, a espessura da camada limite laminar vale
\delta_{99}(40) =5\sqrt{\frac{1{,}75\times10^{-2}\times40}{3}} =5\sqrt{0{,}2333} \approx2{,}42\\ \mathrm{cm}.

Resposta

a) v_x\approx2{,}94\\ \mathrm{cm/s}, v_y\approx0{,}029\\ \mathrm{cm/s}.
b) \mathrm{Re}_{x=20\mathrm{cm}}\approx3429.
c) \delta_{99}(40\mathrm{cm})\approx2{,}42\\ \mathrm{cm}.

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