Considere um recipiente fechado dotado de um tubo de entrada de água de 10 mm de diâmetro e um tubo de saída de 5 mm de diâmetro. O recipiente possui um aquecedor que gera 2.000 W de potência em regime permanente. A massa específica da água é igual a 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} na entrada e saída e o calor específico é igual a 4180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}. Sabendo que a água que entra chega com uma temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}, e o perfil de velocidades é dado por:
V(r)=1-\frac{r^{2}}{2.5 \times 10^{-5}} ; \mathrm{V} em (m/s) e r em metros, pede-se:
a) V média, Fluxo de Volume e Fluxo de massa que entram no recipiente.
b) Fluxo de calor trazido ao recipiente pela água que entra.
c) Velocidade média de saída
d) Fluxo de calor que a água transporta para fora do recipiente.
e) Temperatura da água na saída.

Passo 1

O enunciado traz um fluxo de água em regime permanente num tubo de entrada de diâmetro D_{\mathrm{in}}=10 mm, com perfil de velocidades
V(r)=1-\frac{r^{2}}{2{,}5\times10^{-5}}\quad\bigl[\mathrm{m/s}\bigr],
densidade \rho=1000 kg/ m^{3}, calor específico c_{p}=4180 J/(k g\cdot K), entrada a T_{\mathrm{in}}=25\,^\circC e potência do aquecedor P=2000 W.
Vamos (a) achar velocidade média, fluxo volumétrico e mássico na entrada; (b) fluxo de calor que entra; (c) velocidade média de saída (tubo de D_{\mathrm{out}}=5 mm); (d) fluxo de calor que sai; (e) temperatura de saída usando balanço de energia.

Passo 2

Para a velocidade média no tubo de raio R=D_{\mathrm{in}}/2=5\times10^{-3} m usamos
V_{\mathrm{m}} =\frac{2}{R^{2}}\int_{0}^{R}V(r)\,r\,dr =\frac{2}{R^{2}}\Bigl[\tfrac{R^{2}}{2}-\frac{1}{2{,}5\times10^{-5}}\cdot\tfrac{R^{4}}{4}\Bigr].
Com R=5\times10^{-3} m obtemos
\int_{0}^{R}V(r)\,r\,dr=6{,}25\times10^{-6}, \quad V_{\mathrm{m}}=\frac{2}{(5\times10^{-3})^{2}}\times6{,}25\times10^{-6}=0{,}5\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

Área de entrada
A_{\mathrm{in}}=\pi R^{2} =\pi(5\times10^{-3})^{2} =7{,}854\times10^{-5}\;\mathrm{m}^2.
Volumétrico e mássico
\dot V=V_{\mathrm{m}}\,A_{\mathrm{in}} =0{,}5\cdot7{,}854\times10^{-5} =3{,}927\times10^{-5}\;\mathrm{m^3/s},
\dot m=\rho\,\dot V =1000\cdot3{,}927\times10^{-5} =3{,}927\times10^{-2}\;\mathrm{kg/s}.

Passo 4

Fluxo de calor levado pela água que entra
\dot Q_{\mathrm{in}} =\dot m\,c_{p}\,T_{\mathrm{in}} =3{,}927\times10^{-2}\times4180\times25 \approx4{,}10\times10^{3}\;\mathrm{W}.

Passo 5

Saída: R_{\mathrm{out}}=D_{\mathrm{out}}/2=2{,}5\times10^{-3} m,
A_{\mathrm{out}} =\pi R_{\mathrm{out}}^{2} =1{,}9635\times10^{-5}\;\mathrm{m}^2, \quad V_{\mathrm{out}} =\frac{\dot V}{A_{\mathrm{out}}} =\frac{3{,}927\times10^{-5}}{1{,}9635\times10^{-5}} =2{,}0\;\mathrm{m/s}.

Passo 6

Balanço de energia em regime permanente:
\dot m\,c_{p}\,T_{\mathrm{in}}+P =\dot m\,c_{p}\,T_{\mathrm{out}} \quad\Longrightarrow\quad T_{\mathrm{out}} =\frac{P}{\dot m\,c_{p}}+T_{\mathrm{in}} =\frac{2000}{3{,}927\times10^{-2}\times4180}+25 \approx37{,}2\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Fluxo de calor que sai
\dot Q_{\mathrm{out}} =\dot m\,c_{p}\,T_{\mathrm{out}} =3{,}927\times10^{-2}\times4180\times37{,}2 \approx6{,}10\times10^{3}\;\mathrm{W}.

Resposta

a) V_{\mathrm{m}}=0{,}5 m/s, \dot V=3{,}93\times10^{-5} m^{3}/s, \dot m=3{,}93\times10^{-2} kg/s
b) \dot Q_{\mathrm{in}}\approx4{,}10\times10^{3} W
c) V_{\mathrm{out}}=2{,}0 m/s
d) \dot Q_{\mathrm{out}}\approx6{,}10\times10^{3} W
e) T_{\mathrm{out}}\approx37{,}2\,^\circ\mathrm{C}

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